Exercice suites.

[invitea250c65c]

Bonjour à tous,

Voici un exercice tiré d’un livre. Je n’ai pas fait comme la correction, je suppose qu’il y a une erreur quelque part dans ce que j’ai fait (la solution du livre est plus complexe), mais je ne vois pas où.
Pouvez-vous me corriger s’il vous plait.

Soient et une suite de rationnels convergeant vers . Pour tout , on note avec .
Montrer que tend vers puis que tend vers .

Voici ce que j'ai fait :

J’ai montré que toute suite convergente d’entiers était stationnaire et convergeait donc vers une limite entière. Ca ok.
A partir de là je raisonne par l’absurde : supposons que ne tende pas vers .
est donc bornée (c’est une suite d’entier naturels). On peut donc extraire de une suite convergente (théorème de BW).
D’après ce qui a été vu au début, est stationnaire à partir d’un certain rang, donc il existe un entier tel qu’à partir d’un certain rang, .
A partir de ce rang, donc converge vers (car est une suite extraite de qui converge vers ).
Or ceci est impossible car est une suite d’entiers, donc que si elle converge c’est nécessairement vers un entier, ce qui n’est pas le cas de ( est irrationnel et entier).
On aboutit donc à une contradiction, ainsi tend vers et donc également (si tel n’était pas le cas serait bornée et donc tendrait vers et non vers , car le dénominateur tend vers ).

Est-ce correct ?

Merci d'avance.
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[invitec317278e]

la suite qui vaut 1 si n est pair et n si n est impair ne tend pas vers l'infini, et pourtant, elle n'est pas bornée.

[invitebfd92313]

par contre, une suite qui ne tend pas vers l'infini admet une suite extraite bornée, et on peut appliquer la meme chose à cette suite extraite.

[invitec317278e]

J'avais pas lu la suite

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Effectivement, le début du raisonnement est trop rapide et passe par une conclusion intérmédiaire fausse, comme le souligne Thorin.

Dire que la suite tend vers l'infini, c'est dire que pour toute valeur arbitrairement grande, on peut trouver un entier tel qu'au delà de cet entier la suite dépasse la valeur donnée (j'aime bien le dire en français).
Dire que la suite ne tend pas vers l'infini, c'est donc dire qu'on peut trouver une valeur telle que pour tout entier on puisse en trouver un au delà telle que la suite soit inférieure à la valeur trouvée.
C'est-à-dire exactement qu'on puisse en extraire une sous-suite bornée par la fameuse valeur.

Donc le passage par "la suite est bornée" est faux.

[invitea250c65c]

Merci bien,

Aie aie aie en effet erreur très moche désolé .
Bien compris pour le reste (on applique mon raisonnement à la suite extraite qui elle est bornée ...).

Tant que je suis dessus, voyez-vous des conséquences, plus ou moins directes, de ce résultat?

Merci d'avance.

[invitec317278e]

ben ca confirme l'intuition que si on veut une bonne approximation d'un irrationnel, il faut chercher un rationnel qui s'exprime comme le quotient de 2 grands nombres.