Système d'équations non linéaires !?

[invitebd90bdd8]

Bonjour à tous.
Je suis actuellement confronté à un système d'équations qui me semblent pas vraiment linéaires, et je voudrais savoir s'il y aurait un moyen pour résoudre ce genre de système.
Voici les deux équations du système:

m*d²y/dt² – my*d²φ/dt² + mgsin φ – F1 = 0

(A + my²)*d²φ/dt² + 2my*dy/dt dφ/dt + mgycosφ – L*F2 = 0

(y et φ dépendent du temps t)

En se plaçant dans le cas où l'angle φ est petit (comme me l'a suggéré mon professeur de SII) et en réécrivant les équations dans le domaine de Laplace, j'obtiens alors:

mp²y(p) – mp²y(p)φ(p) + mgφ(p) – F1 = 0

Ap²φ(p) + mp²y²(p)φ(p) + 2mp²y(p)φ(p) + mgy(p) – L*F2 = 0

Le problème est que je voudrais obtenir une relation entre y et φ du genre y(p)/φ(p) qui soit indépendant de y et de φ, ce que je n'arrive pas à faire pour le moment.

Merci de bien vouloir m'aider si vous y voyez une solution.

Cordialement: Kakazemane
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[invite6f25a1fe]

Il me semble que la transformée de Laplace n'est valide que pour les équations linéaires. Notamment, on n'a pas a priori L(f²(t))=L(f(t))²
C'est pourtant ce que tu as écris dans l'équation 2.

Rq : la transformée de Laplace d'un produit sera le produit de convolution des transformées de Laplace, c'est à dire : L(f(t).f(t)) = L(f(t))*L(f(t)) avec . le produit usuel et * le produit de convolution.

[invitebd90bdd8]

Ap²φ(p) + mp²y²(p)φ(p) + 2mp²y(p)φ(p) + mgy(p) – L*F2 = 0

Je suis désolé, j'ai oublié le carré sur le y:
Ap²φ(p) + mp²y²(p)φ(p) + 2mp²y²(p)φ(p) + mgy(p) – L*F2 = 0

[invite6f25a1fe]

Le ² ne change rien au problème. En fait, j'ai vu que l'erreur se trouvait aussi dans l'équation 1.

Tu as ton équation 1 par exemple :


En supposant que tu utilises Laplace, tu feras donc L(e1). ce qui donne :

Pour le moment, je n'ai utilisé que la linéarité de la transformée de Laplace. Ensuite, tu ne peux pas aller plus loin.
Comme je l'ai dit, tu ne peux pas écrire que : car ceci est faux.
Ce terme ci ferait normalement intervenir un produit de convolution, idem pour tous les termes non-linéaires de ton équation. Or un produit de convolution, ca n'a rien de marrant à calculer. On voit que la transformée de Laplace ne nous simplifie pas trop l'affaire en réalité. C'est pour ca qu'on ne l'utilise que pour les équations linéaires ! Dans les cas non linéaires, il faut chercher autres chose.

P.S : fait une recherche dans ce forum, il y a quelques temps, on a discuter d'équations couplées non-linéaires comme les tiennes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

En gros, il faudra que tu fasses un changement de fonctions inconnues. Tu obtiendras alors 4 équations, mais du premier ordre cette fois ci. Ensuite, il faut utiliser un schéma numérique comme Runge-Kutta.

Voici le lien pour la discussion sur les équations couplées non-linéaires : http://forums.futura-sciences.com/ma...erentiels.html

[invitebd90bdd8]

Merci beaucoup Scorp, je vais essayer de faire une recherche dans le forum.