Vitesse de convergence d'une suite

[invitea0b22930]

Bonjour à tous.
La définition de la vitesse de convergence d'une suite se trouve un peu partout.
Par exemple ici
Cette définition fait explicitement intervenir la limite de la suite.
Plaçons dans le cas (somme toute pas si rare) où on sait que la limite existe mais elle est inconnue. Si on veut calculer une approximation de la limite avec une précision donnée à l'avance, il faut savoir jusqu'à quel ordre calculer le terme général de la suite. D'où la nécessité d'avoir au moins une idée de la vitesse de convergence sans connaître la valeur de la limite.
Je pense que l'étude du rapport (u_n+1-u_n)/(u_n-u_n-1) dans la mesure où il tend vers une limite <1 donne une indication de cette vitesse.
Cependant, après de longues recherches je n'ai pas pu trouver une démonstration rigoureuse établissant ce fait, et je n'ai pas pu montrer moi-même que c'était vrai.
Quelqu'un connait-il cette question ?
Merci.
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[invitea6f35777]

Bonjour,

Il va se poser le même problème pour l'étude du rapport en question, on peut savoir qu'il converge vers une limite plus petite que 1 sans savoir à quelle vitesse il converge et donc c'est inexploitable. Au plus on peux affirmer, qu'il existe un certain rang (qu'on ne connaît pas) à partir duquel on peut estimer la vitesse de convergence.

Ce n'est pas difficile à montrer:

Soit une suite à valeurs numériques (réelles ou complexes) non stationnaire (pour que l'hypothèse ait toujours un sens). On suppose qu'il existe tel que:

En particulier il existe un rang tel que:


(Le problème étant qu'on a aucune idée de la valeur de et il est facile de construire des exemples où est arbitrairement grand et où le rapport fait à peu près tout ce qui veux avant ce rang et on ne peut rien dire de la vitesse de convergence de la suite.)

Notons et , alors:

Par une récurrence évidente, pour

et pour

On en déduit en particulier que la suite est de Cauchy et elle converge donc vers une limite . En passant à la limite dans ce qui précède on obtient:

Ainsi, si on note
On a pour

Je suppose que c'est ce genre de résultat que vous souhaitiez obtenir

[invitea0b22930]

Merci KerLannais pour cette réponse très précise et très complète.
Tout repose donc sur une évaluation de N₀. Elle a le mérite de me faire comprendre que ma question était mal posée. Car oui on peut estimer la vitesse de convergence (à partir d'un certain rang, mais comme il s'agit d'une notion asymptotique c'est sans importance), mais non on ne peut utiliser cela pour déterminer jusqu'où pousser le calcul a priori, sans autre évaluation supplémentaire.
La morale de cette histoire: Les analystes 'purs' estiment que le problème est résolu dès qu'ils ont prouvé que telle suite convergent vers telle constante avec telle vitesse. Du point de vue algorithmique 'pur' rien n'est réglé pour autant s'il s'agit d'encadrer la constante avec une précision donnée à l'avance. D'une certaine façon et du point de vue de l'analyse numérique, la vitesse de convergence serait un paramètre 'illusoire'.