Coniques

[invite61d77f0c]

Je suis devant un énoncé : "Suivant les valeurs de a et t réels (a non nul), déterminer l'ensemble d'équations :
x²+y²=[(x-a)cos t + y sin t]²
A part voir que la première partie équivaut au carré de la distance OM, avec M(x;y), je ne comprends rien alors même que j'ai le corrigé sous les yeux (je vous le scotche sur demande). Je crois pourtant disposer de toutes les formules nécessaires à ce problème : laquelle est-ce que je ne sais pas utiliser ?
Merci de votre aide.
PS : j'ai essayé de résoudre analytiquement, en développant je pensais identifier terme à terme, mais je tombe dans des impossibilités (oui, c'est un réflexe de débutant, mais n'est-ce pas ce que je suis ?)
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[KerLannais]

salut,

Pourtant, même en développant comme un bourrin on y arrive quand même. Cela dit c'est vrai qu'une interprétation géométrique est plus élégante quand on arrive à la trouver. Supposons et fixés, on peut tout développer et exprimer en fonction de . En effet, si on fixe , la seule inconnue restante est qui vérifie une équation de degré 2.

En développant on trouve (sauf erreur de calcul de ma part)

On peut factoriser le terme constant et on trouve

Il suffit alors de calculer le discriminant, après simplification on trouve

On en déduit que

ce qui équivaut à

ou

Autrement dit, pour chaque valeur de et on obtient un couple de droite (une hyperbole dégénérée) dont on a les équations. On peut alors calculer leur intersection et l'angle qu'elles forment entre elles en fonction de et . En espérant ne pas mettre trompé dans mes calculs