Problème dérivées

[invite3999c982]

Bonjour, quelqu'un saurait il me dire ou est mon erreur ?



Merci
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[invite3999c982]

Personne ?

[KerLannais]

Salut,

Tu n'as pas fait d'erreur mais il doit y avoir une erreur d'énoncé. Pour que l'énoncé marche il faudrait prendre:

En plus, la fonction n'est pas définie pour par exemple et ça l'énoncé n'en parle pas ...

[KerLannais]

oups je voulais dire pour et pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bien non KerLannais, c'est normal que l'énoncé ne donne pas le domaine de définition de la fonction*, puisque la solution du problème réside dans le fait de considérer quel est ce domaine et où se situe (4,0) par rapport à ce domaine. Je n'avais pas pensé à regarder le domaine minutieusement, et du coup j'avais loupé cette donnée. Merci à toi

*À moins que tu l'es compris, ce qui explique ton dernier bonhomme sourire... ^^

[KerLannais]

euh ... je suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire Universus ... Certes on peut conclure au vu du domaine de définition que la fonction n'est pas différentiable en , encore qu'on puisse s'amuser à définir une différentielle sur le bord de domaines suffisamment régulier. Mais par contre est partiellement dérivable par rapport à en et des deux côtés si j'ose dire ( est définie sur car en fait elle est définie pour toute valeur de et elle est nulle).

[Universus]

Je me suis peut-être emporté trop vite, disons que je me rends compte que c'est dans mon caractère. Oui, la dérivée est à première vue définie (c'est ce qui est démontré dans le message de kakashidiablo). Je suis en train de mêler tous mes pinceaux et je suis peut-être - probablement... de plus en plus certain - en train de dire des conneries en parallèle sur un même fil qui a été ouvert dans le forum mathématiques du collège. Au moins, je m'en veux moins de ne pas avoir vu le domaine de la fonction f(x,y), vu que justement j'étais concentré sur la fonction disons g(x) = f(x,0) qui elle est dérivable et définie partout sur sauf en x=4 (mais la valeur en x=4 s'obtient probablement à la limite, en plus d'être donnée ici).

Néanmoins, le fait que l'on définisse la fonction comme une fonction à 2 variables dont on veut étudier la dérivée partielle en (4,0) me laisse perplexe, puisqu'à première vue le problème serait totalement équivalent à dire de trouver la dérivée en x=4 de la fonction définie ci-dessus. Le fait qu'on ait à faire à une fonction à deux variables ne doit pas être anodin. Je propose donc ce qui suit afin de me racheter quant à mon affirmation au message précédent, mais je ne suis pas certain de la validité de cet argument. Autrement, je ne vois pas comment résoudre le problème tel qu'énoncé.

Soit le sous-ensemble de tel que et . Ainsi, le domaine de est . Partout en , on a :



qui est définie. Donc . Il reste à voir si 'fait partie' de ce domaine aussi. existe si et seulement si existe. D'après la définition formelle de limite, cela est possible si et seulement si pour tout tel que *, il existe un tel que . Cependant, et c'est là l'argument dont je ne suis pas certain, du fait que fasse partie de la frontière de , l'hypothèse de départ (soit la condition qui s'avère suivie d'un «*») n'a pas de sens dès que , puisque f'_x n'y est pas définie. Ainsi, si (x,y) est implicitement supposé être élément de , alors la limite n'existe pas. Néanmoins, si , il faudrait effectuer le calcul jusqu'au bout pour voir s'il existe toujours un tel pour pouvoir trancher.

C'est, de façon quelque peu plus développée, ce que je voulais dire dans mon précédent message, mais j'y avais moins réfléchi. L'argument est-il valide? Merci

Universus

*Le 0 vient du calcul effectué par kakashidiablo ; on tente donc de démontrer qu'il s'agit bel et bien de la limite de f'_x en (4,0) dans le cas général.

Edit : mon argument me semble justifié par des cas à une variable où seule la limite à gauche ou à droite existerait, mais pas les deux, dans quel cas la limite n'existe pas si je ne me trompe pas.

[KerLannais]

Salut,

Oui mais là tu poses le problème de la continuité de la dérivée partielle de f par rapport à x et bien entendu, comme (4,0) est au bord de l'ensemble de définition, cette dérivée partielle ne saurait être continue "par en dessous". Ca ne change rien au fait que f est partiellement dérivable par rapport à x en (4,0) et que l'énoncé est faux (certainement à cause d'une coquille dans la formule qui définit f)

[Universus]

Salut,

Oui, je comprends ce que tu veux dire, mais cette question m'a justement fait soulever la question de savoir ce que signifie de dire qu'une dérivée partielle existe. Je n'ai pas mon livre de calcul infinitésimal dans l'espace avec moi, mais si je me rappelle bien (et c'est ce que tu sembles soutenir), il s'agit de dire que la limite (dans le cas à deux variables)



existe, ce qu'on appelle . C'est toujours dans ce sens que je l'ai utilisée et qu'elle semble définie par mes courtes recherches sur Internet. Néanmoins, la question ici m'a fait me poser quelques questions. Évidemment, les mathématiques étant aussi une manière de convention, si on ne se fie qu'à la définition ci-dessus, alors le problème semble effectivement mal énoncé.

Premièrement, d'après ce que j'ai trouvé comme le plus détaillé sur le domaine où on peut définir simplement une dérivée partielle (soit wikipédia... ), on peut définir comme fait ci-haut la dérivée partielle dans un sous-ensemble ouvert de dans notre cas qui est sous-ensemble ouvert du domaine de f. Néanmoins, dans le cas qui nous intéresse, on cherche à calculer la dérivée partielle au point qui fait partie de la frontière du sous-ensemble ouvert du domaine de f. Peut-être peut-on définir dans certains cas une dérivée partielle en des points de la frontière de l'ouvert, mais cela serait à vérifier et je ne suis pas au courant d'une telle chose.

Par ailleurs, quand j'y pense, il me semble quelque peu arbitraire de définir une dérivée partielle comme étant une dérivée 'ordinaire' par rapport à la variable d'intérêt, maintenant toutes les autres variables constantes. C'est que définie ainsi, la dérivée partielle ne représente que la valeur de la fonction évaluée en selon un seul chemin, soit la droite ayant pour équation , t réel. Or, il s'agit d'un chemin parmi tant d'autres. Alors pourquoi ne pas considérer tous ces chemins?

J'imagine qu'il y a une justification qui tient du fait que la définition habituelle est plus permissive qu'une définition reposant sur la convergence de la fonction f'_x et peut donc s'appliquer dans davantage de cas.

[KerLannais]

Salut

D'accord, je vois ce que tu veux dire. Si on rajoute dans la définition de la dérivée partielle d'une fonction en un point que le point soit à l'intérieur du domaine de définition de f alors dans ce cas ça marche.