Processus de Poisson Problématique

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai un processus de poisson (soit N(t)) j'aimerais démontrer que, si s et t sont des réels positifs et conditionellement à l'événement {N(t + s) - N(s) = 1} (c'est à dire il n'y a qu'un saut dans l'intervalle [s,s+t]) alors l'instant du saut est distribué uniformément sur [s,s+t].

Je dois donc montrer que, si T désigne l'instant de ce saut et si k appartient à l'intervalle en question :



Je développe la proba pour avoir :

= P(un seul saut dans [s,k] et 0 sauts dans ]k,s+t])/P(un seul saut dans l'intervalle)

= P(N(k) - N(s) = 1).P(N(s + k) - N(k) = 0)/P(N(t + s) - N(s) = 1)

Est-ce juste ? Il me semble que oui pourtant la réponse doit être non étant donné que les N(j) - N(i) sont distribués selon des v.a de poissons et ça ne fera donc pas intervenir k et t donc je n'obtiendrais pas ce qu'il faut ...

merci
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[Garf]

Bonjour. J'aurais deux-trois remarques à faire.

1) Gaffe aux notations. On va dire qu'on va prendre . De cette façon, on va chercher à prouver que :



Et on a :




2) Ceci dit, cette dernière ligne étant vraie, le résultat se déduit aisément. En effet :

Est-ce juste ? Il me semble que oui pourtant la réponse doit être non étant donné que les N(j) - N(i) sont distribués selon des v.a de poissons et ça ne fera donc pas intervenir k et t donc je n'obtiendrais pas ce qu'il faut ...

Les paramètres des lois de Poissons dépendent de s, k et t. C'est comme ça qu'on les retrouve.


3) Enfin, je signale que ce résultat peut être essentiellement trivial, dépendant de la définition que l'on a des processus de Poisson. Pour ma part, les ayant abordés via les mesures de Poisson (désolé, pas de bonnes références sous la main, et l'article du Wikipédia anglais est plutôt sommaire), ceci est une conséquence très, très directe de la définition...