Exercie d'algèbre

[invitec9f3b5ed]

Bonsoir,
j'ai un exercice et je ne sais pas du tout comment commencer pourriez vous me donner des indices pour le trouver:

Soit A une matrice de Mn(R)
A² est diagonalisable à valeur propres positives
Montrer que A est diagonalisable

Cordialement
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[invite9cf21bce]

Bonsoir,
j'ai un exercice et je ne sais pas du tout comment commencer pourriez vous me donner des indices pour le trouver:

Soit A une matrice de Mn(R)
A² est diagonalisable à valeur propres positives
Montrer que A est diagonalisable

Cordialement

Bonsoir.

Je suppose que tu veux dire strictement positives (sinon, voir ).

Je vois déjà trois manières d'aborder le problème (il y en a sans doute plein d'autres). Chacune se généralise dans sans difficulté on remplace la condition sur A² par "diagonalisable à valeurs propres non nulles". Tout dépend de tes connaissances :

• Tu observes que les sous-espaces propres de A² sont stables par A, ce qui ramène a A² = homothétie de rapport . Là, c'est facile (divise A par , par exemple).
• Tu écris A = S + N la décomposition de Dunford et tu observes que (2S+N)N=0. Comme 2S+N est inversible, N=0. [...]
• Soit P le polynôme minimal de A². Alors on voit "aisément" que P(X²) est à racines simples. [...]

A+

Taar.

[invitec9f3b5ed]

Bonsoir.

Je suppose que tu veux dire strictement positives (sinon, voir ).

Je vois déjà trois manières d'aborder le problème (il y en a sans doute plein d'autres). Chacune se généralise dans sans difficulté on remplace la condition sur A² par "diagonalisable à valeurs propres non nulles". Tout dépend de tes connaissances :[list][*] Tu observes que les sous-espaces propres de A² sont stables par A, ce qui ramène a A² = homothétie de rapport . Là, c'est facile (divise A par , par exemple)

Avec cette méthode je ne vois pas comment on passe de la stabilité des espaces propres de A² par A à l'homothétie

Pourriez vous détailler?

Cordialement

[invite9cf21bce]

Avec cette méthode je ne vois pas comment on passe de la stabilité des espaces propres de A² par A à l'homothétie

Pourriez vous détailler?

Cordialement

Soit u l'endomorphisme de Rⁿ canoniquement associé à A. u induit un endomorphisme u_F de chaque sous-espace propre F de A². La somme (directe) des sous-espaces propres de A² est égale à Rⁿ par hypothèse. Il suffit donc de montrer que chaque u_F est diagonalisable (en réunissant les bases de diagonalisation obtenues sur chaque F, on obtient alors une base de diagonalisation de u) ; on observe pour cela que u_F² est une homothétie de rapport (c'est une conséquence directe de ce que F est un sous-espace propre pour u² associé à la valeur propre ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec9f3b5ed]

Soit u l'endomorphisme de Rⁿ canoniquement associé à A. u induit un endomorphisme u_F de chaque sous-espace propre F de A². La somme (directe) des sous-espaces propres de A² est égale à Rⁿ par hypothèse. Il suffit donc de montrer que chaque u_F est diagonalisable (en réunissant les bases de diagonalisation obtenues sur chaque F, on obtient alors une base de diagonalisation de u) ; on observe pour cela que u_F² est une homothétie de rapport (c'est une conséquence directe de ce que F est un sous-espace propre pour u² associé à la valeur propre ).

d'accord merci beaucoup
je vais essayer de voir pourquoi chaque uF est diagonalisable maintenant

Cordialement

[invitec9f3b5ed]

Pourrais tu m'aider à nouveau
je ne vois pas pourquoi chaque restriction de A à un sous espace stable par A serait diagonalisable?

Merci

[invitea41c27c1]

je ne vois pas pourquoi chaque restriction de A à un sous espace stable par A serait diagonalisable?

Utilise le theoreme des noyaux. Sans cela je ne vois pas...
Taar, as-tu une autre idee ?

[invitec9f3b5ed]

Bonjour,
le problème est que je suis en PC et le théorème des noyaux est hors programme pour moi

Merci

[invite9cf21bce]

Utilise le theoreme des noyaux. Sans cela je ne vois pas...
Taar, as-tu une autre idee ?

C'est un cas vraiment très particulier du théorème des noyaux...

Tellement particulier qu'à une petite modif près, il est traité dans tous les cours de diagonalisation.

Voir indice dans mon premier post. Sinon, spoiler ahead :

 Cliquez pour afficher

Si avec , alors est une matrice de symétrie !!!

Cordialement.
Taar.

[invitea41c27c1]

Ah oui bien vu ! Utiliser le theoreme des noyaux pour les symetries qui est plus connu.

[invitec9f3b5ed]

C'est un cas vraiment très particulier du théorème des noyaux...

Tellement particulier qu'à une petite modif près, il est traité dans tous les cours de diagonalisation.

Voir indice dans mon premier post. Sinon, spoiler ahead :

 Cliquez pour afficher

Si avec , alors est une matrice de symétrie !!!

Cordialement.
Taar.

qu'est ce qu'une matrice de symétrie?