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Exercie d'algèbre



  1. #1
    J.D

    Exercie d'algèbre


    ------

    Bonsoir,
    j'ai un exercice et je ne sais pas du tout comment commencer pourriez vous me donner des indices pour le trouver:

    Soit A une matrice de Mn(R)
    A² est diagonalisable à valeur propres positives
    Montrer que A est diagonalisable

    Cordialement

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Taar

    Re : Exercie d'algèbre

    Citation Envoyé par J.D Voir le message
    Bonsoir,
    j'ai un exercice et je ne sais pas du tout comment commencer pourriez vous me donner des indices pour le trouver:

    Soit A une matrice de Mn(R)
    A² est diagonalisable à valeur propres positives
    Montrer que A est diagonalisable

    Cordialement
    Bonsoir.

    Je suppose que tu veux dire strictement positives (sinon, voir ).

    Je vois déjà trois manières d'aborder le problème (il y en a sans doute plein d'autres). Chacune se généralise dans sans difficulté on remplace la condition sur A2 par "diagonalisable à valeurs propres non nulles". Tout dépend de tes connaissances :
    • Tu observes que les sous-espaces propres de A2 sont stables par A, ce qui ramène a A2 = homothétie de rapport . Là, c'est facile (divise A par , par exemple).
    • Tu écris A = S + N la décomposition de Dunford et tu observes que (2S+N)N=0. Comme 2S+N est inversible, N=0. [...]
    • Soit P le polynôme minimal de A2. Alors on voit "aisément" que P(X2) est à racines simples. [...]

    A+

    Taar.

  4. #3
    J.D

    Re : Exercie d'algèbre

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Bonsoir.

    Je suppose que tu veux dire strictement positives (sinon, voir ).

    Je vois déjà trois manières d'aborder le problème (il y en a sans doute plein d'autres). Chacune se généralise dans sans difficulté on remplace la condition sur A2 par "diagonalisable à valeurs propres non nulles". Tout dépend de tes connaissances :[list][*] Tu observes que les sous-espaces propres de A2 sont stables par A, ce qui ramène a A2 = homothétie de rapport . Là, c'est facile (divise A par , par exemple)


    Avec cette méthode je ne vois pas comment on passe de la stabilité des espaces propres de A² par A à l'homothétie

    Pourriez vous détailler?

    Cordialement

  5. #4
    Taar

    Re : Exercie d'algèbre

    Citation Envoyé par J.D Voir le message
    Avec cette méthode je ne vois pas comment on passe de la stabilité des espaces propres de A² par A à l'homothétie

    Pourriez vous détailler?

    Cordialement
    Soit u l'endomorphisme de Rn canoniquement associé à A. u induit un endomorphisme uF de chaque sous-espace propre F de A2. La somme (directe) des sous-espaces propres de A2 est égale à Rn par hypothèse. Il suffit donc de montrer que chaque uF est diagonalisable (en réunissant les bases de diagonalisation obtenues sur chaque F, on obtient alors une base de diagonalisation de u) ; on observe pour cela que uF2 est une homothétie de rapport (c'est une conséquence directe de ce que F est un sous-espace propre pour u2 associé à la valeur propre ).
    Dernière modification par Taar ; 21/08/2009 à 14h28.

  6. #5
    J.D

    Re : Exercie d'algèbre

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Soit u l'endomorphisme de Rn canoniquement associé à A. u induit un endomorphisme uF de chaque sous-espace propre F de A2. La somme (directe) des sous-espaces propres de A2 est égale à Rn par hypothèse. Il suffit donc de montrer que chaque uF est diagonalisable (en réunissant les bases de diagonalisation obtenues sur chaque F, on obtient alors une base de diagonalisation de u) ; on observe pour cela que uF2 est une homothétie de rapport (c'est une conséquence directe de ce que F est un sous-espace propre pour u2 associé à la valeur propre ).

    d'accord merci beaucoup
    je vais essayer de voir pourquoi chaque uF est diagonalisable maintenant

    Cordialement

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    J.D

    Re : Exercie d'algèbre

    Pourrais tu m'aider à nouveau
    je ne vois pas pourquoi chaque restriction de A à un sous espace stable par A serait diagonalisable?

    Merci

  9. Publicité
  10. #7
    Garnet

    Re : Exercie d'algèbre

    Citation Envoyé par J.D Voir le message
    je ne vois pas pourquoi chaque restriction de A à un sous espace stable par A serait diagonalisable?
    Utilise le theoreme des noyaux. Sans cela je ne vois pas...
    Taar, as-tu une autre idee ?

  11. #8
    J.D

    Re : Exercie d'algèbre

    Bonjour,
    le problème est que je suis en PC et le théorème des noyaux est hors programme pour moi

    Merci

  12. #9
    Taar

    Re : Exercie d'algèbre

    Citation Envoyé par Garnet Voir le message
    Utilise le theoreme des noyaux. Sans cela je ne vois pas...
    Taar, as-tu une autre idee ?
    C'est un cas vraiment très particulier du théorème des noyaux...

    Tellement particulier qu'à une petite modif près, il est traité dans tous les cours de diagonalisation.

    Voir indice dans mon premier post. Sinon, spoiler ahead :

     Cliquez pour afficher


    Cordialement.
    Taar.

  13. #10
    Garnet

    Re : Exercie d'algèbre

    Ah oui bien vu ! Utiliser le theoreme des noyaux pour les symetries qui est plus connu.

  14. #11
    J.D

    Re : Exercie d'algèbre

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    C'est un cas vraiment très particulier du théorème des noyaux...

    Tellement particulier qu'à une petite modif près, il est traité dans tous les cours de diagonalisation.

    Voir indice dans mon premier post. Sinon, spoiler ahead :

     Cliquez pour afficher


    Cordialement.
    Taar.
    qu'est ce qu'une matrice de symétrie?

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