Varietes algebriques et adhérence

[taladris]

Bonjour,

j'ai du mal à me représenter ce qu'est l'adhérence (au sens de la topologie de Zariski) pour une partie d'une variété algébrique, mise à part le plus petit fermé de Zariski qui contient cette partie bien sûr .

Existe-t-il une caractérisation simple de l'adhérence? J'aurais dit que l'adhérence de A est l'ensemble des composantes irréductibles qui contiennent A mais sans en être sûr. Quelqu'un peut-il me confirmer (ou infirmer) mon intuition? Me donner une caractérisation?

Merci.
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[taladris]

up!

Ma question n'a pas de succès...

Mon intuition (cf. message précédent) n'est pas bonne. En tout cas, la démonstration que j'avais en tête ne marche pas.

Quelqu'un a une suggestion?

Merci

[invitea41c27c1]

J'aurais dit que l'adhérence de A est l'ensemble des composantes irréductibles qui contiennent A.

Non c'est faux. Tu prends R ou Spec(Z) qui ont tous les deux une composante irreductible.

[invite9cf21bce]

Bonjour,

j'ai du mal à me représenter ce qu'est l'adhérence (au sens de la topologie de Zariski) pour une partie d'une variété algébrique, mise à part le plus petit fermé de Zariski qui contient cette partie bien sûr .

Merci.

Bonjour.

Disons que tu supposes le corps k algébriquement clos (sinon, la notion de variété algébrique, pour être rigoureuse, nécessite de comprendre les schémas).

Dans ce cas, pour une partie Y de Aⁿ(k), il s'agit de l'ensemble des zéros des polynômes à n variables qui s'annulent sur Y.

Par exemple :
dans A¹(C), si tu prends une partie infinie, son adhérence est toute la droite affine
dans A²(C), si tu considères l'ensemble Y des points du "cercle" G: x²+(y-1)²=1, son adhérence est G. D'une part, Q=x²+y²-2y s'annule sur Y, donc . Ensuite, en raisonnant sur les dimensions, tu vois que toute composante irréductible de est soit un point soit G (noter que G est irréductible). Comme Y n'est pas fini, on en déduit que .

Ensuite, pour une partie d'une variété quelconque X, tu utilise des cartes affines, ce qui revient à chercher les zéros des fonctions locales sur X qui s'annulent sur Y (on ne peut pas se limiter aux fonctions globales sur X, il n'y en a généralement pas assez contrairement à la même situation en géo diff compacte).

Par exemple, dans P²(C), tu considère l'ensemble Y des points non nuls de G (le même que ci-dessus). L'adhérence contient G. En regardant des cartes à l'infini, on voit que l'adhérence contient aussi les points à l'infini P₁(i:1:0) et P₂(-i:1:0). Et on montre sans trop de difficulté que l'adhérence est .

En espérant que je n'ai pas tapé à côté ...

Taar.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Merci pour vos réponses.

J'aurais dit que l'adhérence de A est l'ensemble des composantes irréductibles qui contiennent A mais sans en être sûr.

Je pense que c'est vrai pour les ensembles dont l'intérieur (pour la topo de Zariski) est non vide. Pour les autres non.

Dans ce cas, pour une partie Y de An(k), il s'agit de l'ensemble des zéros des polynômes à n variables qui s'annulent sur Y.

En fait, ce qui m'intéresse, c'est surtout le cas où k est le corps des complexes.
J'avais pensé à cette idée aussi. A cause de la propriété: "V(I(A))=A si et seulement si A est un ensemble algébrique de "
(avec I(A) l'idéal des polynômes à n variables s'annulant sur A et V(J) l'ensemble des points annulant tous les éléments de l'idéal J)

On m'a aussi parlé d'ensembles constructibles, en me disant que pour un ensemble constructible, l'adhérence de Zariski et l'adhérence pour la topologie usuelle coïncidaient. Mais avec comme seule référence un livre en allemand. Quelqu'un en aurait-il une français ou en anglais? Merci