Polynome

[invitec9a9f4a6]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre un problème, j'cherche depuis un p'tit moment mais sans résultat.

Soit M une matrice de M_n(R) et Q un polynôme caractéristique de cette matrice.
J'ai déjà montré que pour tout entier k compris entre 1 et n-1 et pour x réel:
Q_k+1(x) = -xQ_k(x) - Q_k-1
J'ai également montré que pour x appartenant à ]-2;2[ l'équation :
y²+xy+1=0 addmettait deux racines complexes conjuguées que j'ai pu écrire sous une forme trigonométrique :
z= exp(a) ou z=exp(-a)
Où a est l'argument apparenant ) ]0; Pi[ tel que x=2cos(a)

On me demande d'en déduire Pn(x) en fonction de n et a...
Evidemment j'ai posé l'équation :
Q_k+1(x) + xQ_k(x) + Q_k-1 = 0

Mais apres j'vois pas par où partir...

Merci
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[invitec336fcef]

Salut,

c'est quoi Pn(x) ? tu voulais dire Qn(x) ?

au revoir.

[invitec9a9f4a6]

Oui en effet il y a une erreur de frappe... Désolé.

[inviteaf1870ed]

Et Qn(x) c'est quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec9a9f4a6]

Je n'ai pas été précis dans mes notations, navré... Je modifierai le sujet d'ici demain pour que tout soit plus clair.

[invitec9a9f4a6]

On note M_n une matrice de M_n(R) définie pour i,j appartenant aux entiers allant de 1 à n par :
m_ii = 0
m_ij = 1 si |i-j| =1
m_ij = 0 sinon

On note Q_n le polynôme caractéristique de M_n
Par exemple pour x réel Q₁(x)=-x

Pour n un entier naturel non nul j'ai trouvé une relation entre Q_n+2 Q_n+1 et Q_n en utilisant les règles de calcules sur les déterminants :
Q_n+2(x) = -xQ_n+1(x) - Q_n(x)

Une question intermédiaire m'a également permis de déterminer les racines de l'équation pour x appartenant à ]-2;2[ :
y²+xy+1
les racines sont :
et
que l'on peut encore écrire :
et
Ou a est l'argument compris entre

On me demande d'en déduire Q_n(x) en fonction de n et a.

Je ne vois pas comment débuter. Encore désolé pour ce premier post peu rigoureux

Merci bien à tous.

[inviteaf1870ed]

Tu peux déjà commencer par écrire les premiers polynômes, ça donne toujours des idées, remarquer que Qn est de degré n, et poser x=2cos(a) puis voir ce que cela donne

[invitec9a9f4a6]

En fait au moment ou j'ai posté le sujet on avait pas encore vu le cours -___-

A priori c'est juste un résultat de cours (sauf grosse erreur de ma part), je trouve
Pn(x) = -(exp(na)+exp(-na))

[invitec9a9f4a6]

Bonjour, le résultat indiqué est visiblement (Qn(x) et non Pn(x) comme je l'ai encore marqué) faux, il ne marche pas pour Q2 et Q3. Je ne comprends pas mon erreur, quelqun pourrait t'il m'aider ?