limite de deux suites

[invite0f6f1e2d]

salut les amis ;

je suis en train de faire un exercice qui est normallement simple , mais je suis bloqué sur la dernière question:

en effet ; soient deux deux suites
u_n et v_n avec u₀>0 et
v₀ >0
et pour tout entier n :


u _n+1 = ( u_n + v_n ) /2
et

v_n+1= (2u_n* v_n) /(u_n + v_n )


la question est de monter que les deu suites( u_n ) et
( v_n ) convergent vers une même limite qu'on déterminera


j'ai réussi à monter que ces deux suites sont adjacentes seulement.

quelle est la limite ? je n'en sais rien

pouvez-vous m'aidez à la trouver ?
et merci d'avance.
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[Flyingsquirrel]

Salut,

quelle est la limite ? je n'en sais rien

Il faut voir que le produit est constant, ensuite c'est facile de calculer la valeur de la limite.

[invite0f6f1e2d]

Salut,

Il faut voir que le produit est constant, ensuite c'est facile de calculer la valeur de la limite.

salut;

pour cette vérification ,ça marche bien :

pou tout entier n

d'où la suite est constante alors :


comme et converge vers la même liite L alors
d'où



tout est alors devient facile après votre indice.
mais comment avez-vous l'idée de voir le produit de ces deux duites .
en général, je veux savoir les fameux astuces pour déchirer un exercice de suite s'il vous plait

et merci d'avance.

[Flyingsquirrel]

d'où

Ne pas oublier de dire que est valable car les deux suites et sont à termes positifs. Si ce n'était pas le cas, pourrait aussi convenir.

mais comment avez-vous l'idée de voir le produit de ces deux duites .

En écrivant la définition de sur une feuille j'ai vu que le dénominateur était . Comme ce terme apparait aussi dans la définition de , j'ai essayé d'exprimer en fonction de et je suis tombé sur . Rien de bien sorcier donc, mais j'aurais très bien pu passer à côté...

en général, je veux savoir les fameux astuces pour déchirer un exercice de suite s'il vous plait

Je n'ai pas de telle astuce en tête.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

en général, je veux savoir les fameux astuces pour déchirer un exercice de suite s'il vous plait

Une astuce qui marche souvent, c'est d'écrire les équations super-proprement, alors les particularités, comme celle indiquée par Flying Squirrel, sautent bien mieux aux yeux.

[invite0f6f1e2d]

Une astuce qui marche souvent, c'est d'écrire les équations super-proprement, alors les particularités, comme celle indiquée par Flying Squirrel, sautent bien mieux aux yeux.

c'est à dire la relation entre les suites et , les équations super-proprement ne c'est pas .

sinon , qu'est-ce que ça veut dire ?
et merci