Limite de suites

[inviteab2b41c6]

Salut,
suite au fabuleux poste sur la révolution des maths, je propose cette petite suite, que je trouve assez amusante:

(chaque ligne représente le rang suivant de la suite de fonction)
Voilà on considère la suite de fonction caracteristique des ensembles suivants:

[0,1]
[0,1/2]
[1/2,1]
[0,1/3]
[1/3,2/3]
[2/3,1]
...
[0,1/n]
[1/n,2/n]
... [(n-1)/n,1]
et ainsi de suite.

Le but du jeu étant de trouver la limite de cette suite


Ce qui m'amène à une vraie question:
Peut on trouver des normes simples telles qu'une suite (fn) converge vers une fonction f, et telle que la meme suite converge vers une autre fonction selon une autre norme... ?

J'ai essayé en prenant la norme ||.||p et la norme de la convergence en mesure, mais en fait comme dans la seconde on travaille sur des classes d'équivalence...
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[inviteeecca5b6]

[0,1]
[0,1/2]
[1/2,1]
[0,1/3]
[1/3,2/3]
[2/3,1]
...
[0,1/n]
[1/n,2/n]
... [(n-1)/n,1]
et ainsi de suite.

t'es sur que c'est ca ?
Parce que a la ligne suivante ca fait
[0, 1/4]
[1/4, 1/2]
[3/4, 1]
C'est normal ? Peut etre que oui...

[invitef591ed4b]

... [0,1/4] , [1/4, 1/2] , [1/2, 3/4] , [3/4, 1] ...

En gros, cette suite d'ensembles est la suite des suites des n intervalles en lesquels on divise [0,1]. Et Quinto considère la suite des fonctions caractéristiques de ces ensembles.

mais en fait comme dans la seconde on travaille sur des classes d'équivalence...

C'est pas grave, non ? La plupart du temps, on assimile une classe d'équivalence à un de ses représentants, ce n'est qu'au début qu'on fait la distinction pour des raisons de clarté, mais par la suite la norme définie sur les classes d'équivalence est utilisée directement sur des fonctions.

[invite4793db90]

Salut,
suite au fabuleux poste sur la révolution des maths, je propose cette petite suite, que je trouve assez amusante:

Comme quoi les débats stériles débouchent parfois sur des idées...

Voilà on considère la suite de fonction caracteristique des ensembles suivants:

[0,1]
[0,1/2]
[1/2,1]
[0,1/3]
[1/3,2/3]
[2/3,1]
...
[0,1/n]
[1/n,2/n]
... [(n-1)/n,1]
et ainsi de suite.

Le but du jeu étant de trouver la limite de cette suite

Au sens de la convergence simple ou uniforme, elle ne converge pas (enfin, selon moi).

Salut,
Peut on trouver des normes simples telles qu'une suite (fn) converge vers une fonction f, et telle que la meme suite converge vers une autre fonction selon une autre norme... ?

C'est une bonne question: on connait des suites qui convergent pour une norme mais pas pour une autre; mais une suite qui converge vers des éléments différents selon la norme, c'est déjà plus intéressant...

J'ai essayé en prenant la norme ||.||p et la norme de la convergence en mesure, mais en fait comme dans la seconde on travaille sur des classes d'équivalence...

Il faut de toute façon chercher en dimension infinie, puisqu'en dimension finie les normes sont équivalentes.

A vos crayons!

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

Salut:
en terme de convergence simple c'est clair que non... (donc en convergence uniforme non plus)

En revanche, ca converge dans Lp, et en mesure vers la fonction nulle.

Sinon Lp est bien de dimension infini si je ne m'abuse...

Pour conclure quant a ce que je disais sur le fait que l'on travaille sur une classe d'équivalence, je suis conscient de ce que tu me disais, mais je répondais a un de mes propres contre exemple:

Par exemple, pour reprendre ma suite de fonctions, elle converge dans Lp vers la fonction nulle (évident).
Et elle converge également em mesure vers la fonction caracteristique de Q. (en fait vers une fonction nulle presque partout)
Mais comme on travaille sur des classes d'équivalence, cette fonction caracteristique est justement la fonction nulle modulo notre relation d'équivalence.

Mais quelque part c'est pas faux non plus