Alors voilà mon premier message sur ce forum: c'est une série de questions sur la théorie de Galois que j'apprends avec le livre d'Ivan Gozard dont vous avez deviné le titre.
1/ On sait qu'un corps de décomposition pour un polynôme P sur un corps K est une extension engendrée par les racines de P. Si à une telle extension je rajoute un élément extérieur, n'ai-je pas un nouveau corps de décomposition? (en quoi est il alors K-isomorphe au précédent?)
2/ Soit K un corps et P un polynôme à coeffs dans K, non constant. On sait qu'il existe un corps de décomposition de P sur K, dont le degré sur K est inférieur ou égal à (deg P)!. Est-ce vrai pour tous les corps de décomposition? (Je sais qu'ils sont tous K-isomorphes). Y a t-il une cns pour que la valeur (deg P)! soit atteinte?
3/ Là je m'adresse à ceux qui ont le bouquin de Gozard: page 61 théorème V.21: il fait une récurrence sur le degré n du corps de décomposition d'un polynôme P sur K, et un peu plus loin il numérote de 1 à n les racines de ce polynôme, ce qui sous-entend que le degré sur K du corps de décompo est le degré de P. N'y a -t-il pas une erreur?
4/ Sur le degré sur K d'un corps de décomposition d'un polynôme de degré 3, supposé irréductible sur K: j'ai vu sur plusieurs pdf sur internet des démo de ceci:
"en notant a,b,c les racines de P et d=(a-b)(b-c)(c-a):
- si d² est un carré dans K, alors le degré du corps de décompo sur K est 3
- sinon, le degré est 6"
Dans les démos que j'ai vu, ils utilsent l'artillerie lourde de la théorie, alors j'ai cherché une version plus simple. Je vous passe les détails, j'ai démontré que "le" corps de décomposition est K(a,d).
C'est la suite dont je suis moins sûr, alors je la soumet à votre analyse:
On a [K(a,d):K] = [K(a)(d):K(a)].[K(a):K]
= 3[K(a)(d):K(a)]
(on sait aussi que d² est dans K car d² est symétrique en les racines, donc peut s'écrie uniquement à l'aide d'une expression rationnelle en les coeff).
Maintenant:
- ou bien d² est un carré dans K, auquel cas d est dans K donc dans K(a), d'où [K(a)(d):K(a)]= 1 est c'est fini.
- ou bien d² n'est pas dans K, et alors d non plus (sinon son carré serait dans K). Mais d est de degré 2 sur K (polynome minimal X²-d²), donc de degré au plus 2 sur K(a). Mais ça ne peut pas être 1 sinon on aurait d dans
K(a) ce qui donnerait K(d) inclus dans K(a). Ce qui autoriserait alors à écrire
[K(a):K(d)]. [K(d):K] = [K(a):K] soit 2[K(a):K(d)] =3, ce qui est impossible.
Donc d est de degré 2 sur K(a) et c'est fini.
Merci d'avance, je sais que j'en demande beaucoup!
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