théorie de Galois

[invite387b90a8]

Alors voilà mon premier message sur ce forum: c'est une série de questions sur la théorie de Galois que j'apprends avec le livre d'Ivan Gozard dont vous avez deviné le titre.
1/ On sait qu'un corps de décomposition pour un polynôme P sur un corps K est une extension engendrée par les racines de P. Si à une telle extension je rajoute un élément extérieur, n'ai-je pas un nouveau corps de décomposition? (en quoi est il alors K-isomorphe au précédent?)
2/ Soit K un corps et P un polynôme à coeffs dans K, non constant. On sait qu'il existe un corps de décomposition de P sur K, dont le degré sur K est inférieur ou égal à (deg P)!. Est-ce vrai pour tous les corps de décomposition? (Je sais qu'ils sont tous K-isomorphes). Y a t-il une cns pour que la valeur (deg P)! soit atteinte?
3/ Là je m'adresse à ceux qui ont le bouquin de Gozard: page 61 théorème V.21: il fait une récurrence sur le degré n du corps de décomposition d'un polynôme P sur K, et un peu plus loin il numérote de 1 à n les racines de ce polynôme, ce qui sous-entend que le degré sur K du corps de décompo est le degré de P. N'y a -t-il pas une erreur?
4/ Sur le degré sur K d'un corps de décomposition d'un polynôme de degré 3, supposé irréductible sur K: j'ai vu sur plusieurs pdf sur internet des démo de ceci:
"en notant a,b,c les racines de P et d=(a-b)(b-c)(c-a):
- si d² est un carré dans K, alors le degré du corps de décompo sur K est 3
- sinon, le degré est 6"
Dans les démos que j'ai vu, ils utilsent l'artillerie lourde de la théorie, alors j'ai cherché une version plus simple. Je vous passe les détails, j'ai démontré que "le" corps de décomposition est K(a,d).
C'est la suite dont je suis moins sûr, alors je la soumet à votre analyse:
On a [K(a,d):K] = [K(a)(d):K(a)].[K(a):K]
= 3[K(a)(d):K(a)]
(on sait aussi que d² est dans K car d² est symétrique en les racines, donc peut s'écrie uniquement à l'aide d'une expression rationnelle en les coeff).
Maintenant:
- ou bien d² est un carré dans K, auquel cas d est dans K donc dans K(a), d'où [K(a)(d):K(a)]= 1 est c'est fini.
- ou bien d² n'est pas dans K, et alors d non plus (sinon son carré serait dans K). Mais d est de degré 2 sur K (polynome minimal X²-d²), donc de degré au plus 2 sur K(a). Mais ça ne peut pas être 1 sinon on aurait d dans
K(a) ce qui donnerait K(d) inclus dans K(a). Ce qui autoriserait alors à écrire
[K(a):K(d)]. [K(d):K] = [K(a):K] soit 2[K(a):K(d)] =3, ce qui est impossible.
Donc d est de degré 2 sur K(a) et c'est fini.

Merci d'avance, je sais que j'en demande beaucoup!
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[invited73f5536]

Salut.

Pour la 1), si tu ajoutes un élément extérieur, l'extension ne sera pas l'extension engendré par les racines de P, mais strictement plus grande. Ce n'est donc pas un corps de décomposition de P, juste une extension sur laquelle P est scindé. C'est pour avoir cette condition de minimalité qu'on exige que le corps de décomposition d'un polynôme soit engendré par les racines.

Pour la 3), je n'ai pas ce livre, mais sur son corps de décomposition, un polynôme de degré n à n racines, comptées avec leur multiplicités, les n racines qu'il considère ne sont pas forcément distinctes.

[invite4ef352d8]

Pour la 2) non ce n'est pas toujours atteint. par exemple, si tu considere une extension L de K qui est galoisienne (ie qui est le corps de décomposition d'un certain polynome) et un polynome P minimal de L (ie telle que L=K[X]/(P) ) alors L est un corps de décomposition de P et deg L = deg P

pour ce qui est une CNS pour que deg L = deg P ! c'est relativement compliqué. je t'en quelques une, mais il y a rien de miraculeux :
Soit P un polynome de degrée n à coeficient dans K, L un corps de décomposition, et (x1,...xn) les racines de P dans une extension de K (qui contiens donc L)
alors deg L = deg P! si et seulement si "pour tous polynome F en n variable à coeficent dans K, P(x1,...,xn) appartiens à K si et seulement si P est un polynome symétrique"


deux autre beaucoup plus subtil (basé sur le théorème de Chebotarev) dans le cas ou P est un polynome à coefcient entier (meme notation que précedement) :
a) deg L = deg P ! si est seulement si pour tous ecriture de n sous la forme n=n1+n2..+nk ou les ni sont des entier non nul, il existe un nombres premier u telle que la réduction de P dans Z/uZ, ce décompose en facteur premier de la facon suivante : P=P1...Pk avec deg Pi=ni
b) meme chose en remplacant "il existe un nombre premier" par "il existe une infinité de nombres premier"
c)deg L = deg P! si et seulement si il existe un nombre premier u telle que P est iréductible dans Z/uZ, et un autre nombres premier q telle que P ce réduit dans Z/qZ avec (n-2) facteur de degré 1 distincts et un facteur de degrée 2.

[invite4ef352d8]

Pour la 3) :

"et un peu plus loin il numérote de 1 à n les racines de ce polynôme, ce qui sous-entend que le degré sur K du corps de décompo est le degré de P. N'y a -t-il pas une erreur?" >>>

non il y a toujours n racines (enfin... en comptant plusieur fois les eventuellent racines multiples) le degrée de l'extension n'a rien à voir avec le nombre de racines : quand on dit que L est engendré par la racines, c'est comme anneau, pas comme espaces vectoriels : par exemple Q[i] est engendré par un seul element, mais est de degrée deux sur i.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

et pour la 4) ca m'a l'air tous à fait correcte...

[invite387b90a8]

Merci pour vos réponses claires et instructives.

Pour le truc bizarre dans mon bouquin, j'ai du mal me faire comprendre: l'auteur appelle n le degré du corps de décomposition sur le corps de base (degré d'une extension), puis plus loin il dit que c'est le même que celui du polynôme puisqu'il numérote les racines de 1 à n. Ne devrait il pas choisir une autre lettre que n? Je sais, je pinaille , mais vous le savez mieux que moi, il n'y a pas de détail en mathématiques.

Au fait, bravo pour votre maitrise du sujet!

Si vous pouviez prendre le temps d'examiner ma démo aussi, ce serait génial. Merci de rester sur ce topic, j'ai d'autres questions en réserve.

[invite4ef352d8]

oui, c'est un problème ca doit etre une inatention de l'auteur...

pour ta démonstration, je l'ai lu et je n'y vois pas de problème. normalement, le point difficile est plutot de montrer que L=K[a,d].

[invitecbade190]

Bonsoir,

Je me permets de poster une question qui me taraude depuis quelques instants, mais qui ne demande pas d'ouvrir un nouveau fil vu sa simplicité je crois :

Une sous extension d'une extension ( algébrique ) est normale si son groupe de Galois correspondant par la correspondance de Galois est normal.
Qu'en est -t-il d'une sous extension séparable ? En d'autres termes : Quel impact a la séparabilité de la sous extension par rapport au sous groupe de Galois correspondant ?

Merci d'avance.

[inviteded0667c]

Si le sous-groupe est normal alors l'extension est séparable et normale dans la correspondance.

[invitecbade190]

Merci pour votre réponse si rapide.
En fait, je sais que pour parler d'un sous groupe de Galois, il faut que la sous extension qui lui correspond par la correspondance Galois, soit Galoisienne ( i.e : séparable et normale ), mais si on allège un peu les conditions : Si on supprime la condition que la sous extension soit normale mais, reste séparable, comment se comporte le groupe de Galois correspondant, c'est à dire, est ce qu'il est normal ou quoi exactement, résoluble, unipotent, nilpotent ... ?
Merci d'avance.

[inviteded0667c]

Toute sous extension d'une extension séparable est séparable. Donc par la correspondance, à tout sous groupe correspond une extension séparable.

[invitecbade190]

Ah d'accord, merci.
Une autre question qui peut s’avérer être triviale :
Est ce qu'une extension d'un corps peut avoir un spectre non trivial ?
Merci d'avance.

[invitecbade190]

D'accord, souvent une extension est muni d'une structure de -algèbre, c'est pourquoi : n'est pas trivial normalement. Je suis souvent lent dans l'apprentissage.

[invite47ecce17]

C'est quoi un spectre trivial? Réduit à un point?

[invitecbade190]

Oui MiPaMa.

[invite47ecce17]

Le spectre d'un corps est toujours réduit à un unique point. L'ideal nul.

[invitecbade190]

Oui, mais dans le cas d'une "extension" de corps, c'est différent il me semble, parce que une extension de corps peut être muni d'une structure de -algèbre, donc, contient des idéaux non triviaux, non ?

[invite47ecce17]

Non.

[invitecbade190]

Tu expliques un petit peu plus stp, parce que ici : http://math.stackexchange.com/questi...ale-cohomology , on parle de qui ne doit pas être trivial, sinon, ça devient insipide.

[invite47ecce17]

Y a rien a expliquer, un corps n'a que deux ideaux, tous les deux triviaux, et un seul des deux est premier.

[invitecbade190]

Mais ici ce n'est pas des corps qu'on parle, on parle des extensions de corps qui sont des espaces vectoriels sur le corps de base , donc, ils qui contiennent des sous espaces vectoriels qui sont donc des sous modules, et on sait qu'il y'a plein d’idéaux qu'on peut munir de structures de sous modules. Tu n'es pas d'accord ? Explique un peu plus où se trouve l'erreur dans ce que je dis.

[invite47ecce17]

Une extension de corps L/k, c'est deux corps, k et L, plus un morphisme k->L

[invitecbade190]

Une extension de corps L/k, c'est deux corps, k et L, plus un morphisme k->L

Voilà. Et qu'est ce que ça veut dire qu'on a un morphisme : . ça veut dire que est une - algèbre. En théorie des schémas, on ne cesse pas de voir des trucs du genre : avec : une - algèbre de type fini.

[invite47ecce17]

Et? Le fait que L soit une k-algèbre change ses ideaux premiers?

[invitecbade190]

Et? Le fait que L soit une k-algèbre change ses ideaux premiers?

Non, cela nous amène à conclure que le spectre de n'est pas trivial généralement.

[invite47ecce17]

Le spectre d'un corps est toujours trivial.

[invitecbade190]

Tu as vu le lien que je t'ai mis en haut ? Tu l'as lu ? Est ce que l'auteur suppose que est trivial ?

[invite47ecce17]

J'ai pas besoin d'aller voir un lien pour savoir qu'un corps, quel qu'il soit, qu'il soit muni d'une structure de k-algèbre ou pas, n'a qu'un seul ideal premier. La démonstration se fait en 5 secondes de tete.

[invitecbade190]

Oui, je sais, parce que ton but dans cette discussion n'est pas que je finis par comprendre ...

[invite47ecce17]

Je viens de lire le lien, et cette phrase devrait te mettre la puce à l'oreille quant au sujet de notre discussion

In particular, for X=Spec(k), we see that H1((Spec(k)e´t,GLn)=0 since there are no non-trivial vector bundles on a literal point!
In particular, we see that H1((Spec(k))e´t,Gm)=0 since there are no non-trivial line bundles on a point.

Au passage, merci pour le fou-rire. Ta réponse

Thank you SIr. Your answear is extremely clear.

ne manque pas de sel au vu de cette discussion (non pas que la réponse donnée ne soit pas claire).