[MP]Irrationnalité de e

[invitea83062ce]

Salut à tous,

Voici un petit exercice qui me tient en haleine depuis un petit bout de temps, un regard neuf pourrait sans doute me débloquer :


On montre aisément que An est croissante et Bn décroissante.
On reconnait la série exponentiel on peut donc affirmer que An a une limite fini.
De même en passant à la limite dans Bn le terme en 1/(n.n!) tend vers 0 et Bn->An

Ensuite pour montrer que l est irrationnel, on commence par justifier l'existence de (lambda,n), ce qui est trivial car on remarque que par définition même de l on a An<l<Bn.
Je n'arrive cependant pas à utiliser cette hypothèse pour prouver que l n'est pas un rationnel, j'ai essayé en multipliant par n!, ou encore par labsurde en supposnat qu'il est rationnel et donc qu'il existe p et q dans N tel que l=p/q mais là je bloque.

Pour la récurrence, le membre de gauche est trivial puisque exp(x) est la somme des x^k/k! pour k variant de 0 à l'infinie, nécessairement cette entité est plus grande que la somme des x^k/k! pour k variant de 0 à n, cependant le membre de droite est moins sympathique ( et j'avoue avoir des doutes quant à la justification de la première inégalité, ce qui n'est jamais bon signe )

En espérant que vous soyez plus inspiré que moi,
Merci
-----

[invitea07f6506]

Supposons que l = p/q, p et q des entiers naturels non nuls.

Alors .

Si on rapproche cela de ce qui est demandé de justifier, quelle inconsistance peut-on trouver ?

~~~~~

Sinon, si on sait déjà que , la question 2)a) n'a aucun intérêt, tant pour ce qu'on cherche à démontrer (il suffit de prendre x=1) qu'au niveau pédagogique (la démonstration est directe, sans même la nécessité d'utiliser un récurrence). Pour ce que j'en sais, cependant, ce n'est pas au programme de MP ; à toi de voir si tu penses avoir besoin, en tant qu'exercice, de la montrer en mettant de côté ces connaissances...

[invitea83062ce]

je crois avoir trouvé
est évident et immédiat avec la méthode de Taylor-Lagrange, de plus
avec théta dans ]0,1[ et j'ai ma solution.

[invitea07f6506]

Yep, mais comme je le disais, utiliser , c'est de l'overkill (d'un autre côté, je viens de me rendre compte que c'était au programme de MP - j'ai confondu avec la MPSI - donc pourquoi se priver ?). Même pas besoin de recourir à Taylor-Lagrange (même si ça marche) :



Mais, comme je le disais, la question 2)a) n'a de toutes façons aucun intérêt si l'on admet cette identité, et il y a une façon très simple de procéder sans. Si on suppose que l'on a les deux inégalités à l'ordre n, pour passer à l'ordre n+1, il suffit de les intégrer (avec une IPP sur le membre le plus à droite)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

A mon humble avis, il est ici hors de question d'utiliser ce qu'on sait sur la série exponentielle : on tente une approche pour repartir de 0.

On reconnait la série exponentiel on peut donc affirmer que An a une limite fini.

Lorsque l'on utilise le théorème des suites adjacentes, pas besoin de montrer l'existence d'une limite : le simple fait que l'une croisse, l'autre décroisse, et que la différence des 2 tende vers 0 montre l'existence de la limite commune.
Pas besoin donc de sortir la série exponentielle

pour la 2)...bah je sais pas trop comment ils veulent qu'on démontre, mais ca se fait simplement sans avoir besoin de leur lambda, en utilisant l'inégalité stricte que l'on peut déduire du fait que A_n et B_n son adjacentes vers l, et toutes deux strictement monotones.

pour la 3a, ca se démontre par récurrence en intégrant.

3b : on écrit l'inégalité de la 3a en x=1, puis on renverse pour avoir e> somme_inverse_factorielle > e-1/(n+1)!, et on fait tendre vers l'infini, ya plusieurs manières de l'écrire...


l'esprit de cet exo est, je pense, de le faire sans connaissance de prépa.

[invitea83062ce]

Je ne saisis pas comment tu montres que l est irrationnel, et quand j'intègre par parties mon j'ai l'impression de tournée en rond ! une bonne nuit de someil ne sera pas de trop.

[invitea07f6506]

Sur l'irrationalité de e :

Supposons que l=p/q, p et q naturels non nuls. Tu as montré qu'il existe un dans ]0,1[ tel que :



D'où :



Quel est le problème, maintenant ?

~~~~~

Sur l'intégration : désolé, j'ai parlé trop vite. Ce n'est pas une IPP qu'il faut faire, mais un majoration bidon :

[invitea83062ce]

Sur l'irrationalité de e :

Supposons que l=p/q, p et q naturels non nuls. Tu as montré qu'il existe un dans ]0,1[ tel que :



D'où :



Quel est le problème, maintenant ?

~~~~~

Sur l'intégration : désolé, j'ai parlé trop vite. Ce n'est pas une IPP qu'il faut faire, mais un majoration bidon :

J'ai compris est un entier naturel compris entre 0 et 1 => absurde

Et après grâce à la majoration on fait apparaitre le terme n+2

Merci à tous

[invitea83062ce]

J'ai du mal quand même avec ce passage parceque rien ne nous assure que q=n

[inviteaf1870ed]

Si car l'égalité avec lambda est valable pour tout n, donc également pour q