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puissance réel d'un nombre complexe



  1. #1
    Morghot

    puissance réel d'un nombre complexe


    ------

    Bonjour,

    Encore de le cadre de révisions pour la première année de licence, j'ai à calculer des nombres complexes à la puissance () puis à les mettre sous forme algébrique.







    Merci d'avance

    -----

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  4. #2
    ericcc

    Re : puissance réel d'un nombre complexe

    La méthode est toujours la même : il faut passer à la forme trigonométrique

    par exemple remarquer que si on factorise 1+i par racine(2) on obtient quelque chose de sympathique

  5. #3
    Seirios

    Re : puissance réel d'un nombre complexe

    Bonjour,

    Il peut être utile de remarquer que et , d'où une expression réelle à la puissance 4.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #4
    Petitphysicien

    Re : puissance réel d'un nombre complexe

    Bonjour

    Peut-être passer par la forme trigonométrique puis utiliser la relation de Moivre.

    PetitPhysicien
    "Je sais que je ne sais rien" Socrate

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  8. #5
    Scorp

    Re : puissance réel d'un nombre complexe

    Tu peux également regarder ces formules avec une vision plus géométrique. C'est beaucoup plus rapide et intuitif que des formules.

    Par exemple pour le 1) : i est le vecteur vertical (0,1) et -1 le vecteur unitaire (-1,0). On voit tout de suite que la somme des deux fait un vecteur de norme racine(2) et situé à teta=135°=3pi/4 (évident sur un cercle trigo). On a donc tout de suite que

    Idem pour i+1 : on voit imédiatement que c'est

    Ensuite, un nombre complexe elevé a une puissance n correspond à une transformation du vecteur unitaire horizontal 1 (1,0) (rotation de n fois l'argument et dilatation de sa norme)

    Donc pour obtenir , on obtient que sa norme sera et on doit tourner (1,0) d'un angle de 4 fois donc il est changé en son opposé.

    Bref, ca fait beaucoup de lignes pour expliquer, mais au final on a sans formule et très rapidement que et et donc que le résultat de 1) devrait être, sauf erreur,

  9. #6
    Morghot

    Re : puissance réel d'un nombre complexe

    Merci pour toutes ces réponses ! J'ai continué mes recherches et je suis tombé sur la formule de De Moivre (comme l'a dit Petitphysicien) qui m'a l'air bien utile !



    Je ne pense pas qu'ils demandent de résolution géométrique même si ça a l'air d'être plus simple effectivement !

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  11. #7
    Scorp

    Re : puissance réel d'un nombre complexe

    Citation Envoyé par Morghot Voir le message
    Merci pour toutes ces réponses ! J'ai continué mes recherches et je suis tombé sur la formule de De Moivre (comme l'a dit Petitphysicien) qui m'a l'air bien utile !



    Je ne pense pas qu'ils demandent de résolution géométrique même si ça a l'air d'être plus simple effectivement !
    La méthode géométrique permet surtout de savoir vers quoi aller, et de te donner une facon de prévoir le résultat assez rapidement afin de corriger d'éventuelles erreurs de calculs.

    La formule de Moivre est tout simplement la propriété produit/puissance de l'exponentielle : . En fait de manière général, lorsque tu as des puissances de complexes à calculer, il vaut mieux passer avec la notation exponentielle, quitte à revenir ensuite dans une autre notation. Parce quand on voit le nombre de formule de trigo qu'on a apprendre (arc moitié, cos(a+b), sin(a+b), tan(a+b) etc...) tu vas vite etre saturé de formules

  12. #8
    Morghot

    Re : puissance réel d'un nombre complexe

    Je trouve soit alors que tu trouves Scorp ... J'ai du faire une erreur

  13. #9
    Scorp

    Re : puissance réel d'un nombre complexe

    Oui désolé, c'est juste que j'ai oublié un moins (qui provient du (1+i)^4=-4) dans ma formule finale. Donc ton résultat est le bon.

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