puissance réel d'un nombre complexe

[invite00c73359]

Bonjour,

Encore de le cadre de révisions pour la première année de licence, j'ai à calculer des nombres complexes à la puissance () puis à les mettre sous forme algébrique.







Merci d'avance
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[inviteaf1870ed]

La méthode est toujours la même : il faut passer à la forme trigonométrique

par exemple remarquer que si on factorise 1+i par racine(2) on obtient quelque chose de sympathique

[Seirios]

Bonjour,

Il peut être utile de remarquer que et , d'où une expression réelle à la puissance 4.

[invite6696a2c1]

Bonjour

Peut-être passer par la forme trigonométrique puis utiliser la relation de Moivre.

PetitPhysicien

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

Tu peux également regarder ces formules avec une vision plus géométrique. C'est beaucoup plus rapide et intuitif que des formules.

Par exemple pour le 1) : i est le vecteur vertical (0,1) et -1 le vecteur unitaire (-1,0). On voit tout de suite que la somme des deux fait un vecteur de norme racine(2) et situé à teta=135°=3pi/4 (évident sur un cercle trigo). On a donc tout de suite que

Idem pour i+1 : on voit imédiatement que c'est

Ensuite, un nombre complexe elevé a une puissance n correspond à une transformation du vecteur unitaire horizontal 1 (1,0) (rotation de n fois l'argument et dilatation de sa norme)

Donc pour obtenir , on obtient que sa norme sera et on doit tourner (1,0) d'un angle de 4 fois donc il est changé en son opposé.

Bref, ca fait beaucoup de lignes pour expliquer, mais au final on a sans formule et très rapidement que et et donc que le résultat de 1) devrait être, sauf erreur,

[invite00c73359]

Merci pour toutes ces réponses ! J'ai continué mes recherches et je suis tombé sur la formule de De Moivre (comme l'a dit Petitphysicien) qui m'a l'air bien utile !



Je ne pense pas qu'ils demandent de résolution géométrique même si ça a l'air d'être plus simple effectivement !

[invite6f25a1fe]

Merci pour toutes ces réponses ! J'ai continué mes recherches et je suis tombé sur la formule de De Moivre (comme l'a dit Petitphysicien) qui m'a l'air bien utile !



Je ne pense pas qu'ils demandent de résolution géométrique même si ça a l'air d'être plus simple effectivement !

La méthode géométrique permet surtout de savoir vers quoi aller, et de te donner une facon de prévoir le résultat assez rapidement afin de corriger d'éventuelles erreurs de calculs.

La formule de Moivre est tout simplement la propriété produit/puissance de l'exponentielle : . En fait de manière général, lorsque tu as des puissances de complexes à calculer, il vaut mieux passer avec la notation exponentielle, quitte à revenir ensuite dans une autre notation. Parce quand on voit le nombre de formule de trigo qu'on a apprendre (arc moitié, cos(a+b), sin(a+b), tan(a+b) etc...) tu vas vite etre saturé de formules

[invite00c73359]

Je trouve soit alors que tu trouves Scorp ... J'ai du faire une erreur

[invite6f25a1fe]

Oui désolé, c'est juste que j'ai oublié un moins (qui provient du (1+i)^4=-4) dans ma formule finale. Donc ton résultat est le bon.