Groupes quotient

[inviteb9082005]

Bonjour,

J'ai encore quelques problèmes de compréhension avec les groupes quotient. J'ai entierement lu les autres posts sur le forum qui traitaient de ca, mais j'en sors toujours pas. Je croyais avoir compris, mais jai alors été chercher un example sur wikipedia:

On a le groupe abélien Z4 = Z/4Z = { 0, 1, 2, 3 }, avec l'addition modulo 4.
H = sous groupe normal de Z4 = { 0, 2 }.
Le groupe quotient est donc Z4/H = { { 0, 2 }, { 1, 3 } } , dont l'elément neutre est { 0, 2 } et qui possède une loi de composition tel que { 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }.

Je ne vois pas comment il trouve Z4/H = { { 0, 2 }, { 1, 3 } } en sachant que par definition Z4/H = {zH | z element de Z4} et zH = {zh | h element de H}.
De plus comment calcule t'il { 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 } ???

Merci d'avance pour vos réponses
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[KerLannais]

Salut,

Attention à ne pas confondre les notations additives et multiplicatives pour la loi d'un groupe. Comme tu l'as si bien dit, Z4 est un groupe pour L'ADDITION et pas pour la multiplication.

La définition que tu donnes pour zH est en notation multiplicative, dans cette définition le terme zh correspond à la composition des éléments z et h par la loi de groupe. Pour Z4 il s'agit de z+h modulo 4. Dans ce cas il est plus intelligent d'utiliser la notation additive pour éviter de se tromper, il faut noter z+H={z+h|h élément de H} et Z4/H={z+H|z élément de Z4}. Je suppose que tu connais ta table de multiplication dans Z4, il est alors facile de calculer zH pour z appartenant à Z4:
pour z=0
z+0=0+0=0
z+2=0+2=2
donc 0H=H={0,2}, en notation additive ca donne 0+H=H={0,2}
pour z=1
1+0=1
1+2=3
soit 1+H={1,3}
pour z=2
2+0=2
2+2=0 (on est dans Z4)
soit 2+H={0,2}
pour z=3
3+0=3
3+2=1
soit 3+H={1,3}
on en déduit Z4/H={{0,2},{1,3}}
si tu prends a=0 ou 2 et b=1 ou 3 alors a+b=1 ou 3, cela se vérifie facilement:
0+1=1
0+3=3
2+1=3
2+3=1
donc {0,2}+{1,3}={1,3}

[inviteb9082005]

Ah oui merci, c'est bien ça l'erreur que je faisais! Cest pas très compliqué mais ca embrouille...

Merci