équation de degré 5

[invitea6f35777]

Bonjour,

Je ne connais pratiquement rien à la théorie de Galois mais je suis curieux. Quelqu'un aurait-il un exemple explicite d'équation polynomiale de degré 5 dont le groupe de Galois n'est pas résoluble. Quand je dit exemple explicite, je veux dire une équation où les coefficients sont des constantes numériques (entières si possible) données, par exemple:

(sauf que pour celle là je ne sais pas si le groupe de Galois est résoluble ou non)
Il me semble que la théorie de Galois dit qu'il existe de tels équations, mais est-ce que cette théorie permet de construire un exemple explicite d'équation de degré 5 non résoluble par radicaux? (on est d'accord qu'il existe des équations de degré 5 qui sont résolubles par radicaux)
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[invite4ef352d8]

Salut !

L'exemple que tu donne marche : son groupe de Galois est S5 qui n'est pas résoluble donc l'equation n'est pas résoluble par radicaux.

pour une preuve faut quelques élements de théorie de galois...

[invitea6f35777]

D'accord, alors autre question, quels sont les différents groupes que l'on peut obtenir comme groupe de Galois d'une équation de degré 5 et quelle est la méthode (s'il y en a une) pour déterminer le groupe de Galois d'une équation de degré 5 donnée explicitement? (par exemple, ici comment tu as fais pour savoir que le groupe de Galois de l'équation que j'avais donné était S5).

[invite4ef352d8]

Quand tu as un polynome P donné de degrée n son groupe de galois est un sous groupe de Sn, et on peut obtenir n'importe qu'elle sous groupe de Sn de cette facon. (enfin... si on considère que les polynomes iréductible, on obtiens que les sous groupe transitif)

le calculer est assez compliqué, une facon de le définir c'est que (si on note x1...xn les racines de P dans la cloture algébrique) c'est l'ensemble des elements s de Sn, telle que pour tous polynome Q en n indéterminé Q(x1,x2...xn) est rationel <=> Q(x_s(1),x_s(2)...x_s(n)) est rationel. apres il y a plusieur methode concrete pour faire le calcule mais elles sont assez complqué, est tres rapidement on ne peut plus les mettre en Oeuvres à la main...

ceci dit, à degrée fixé et faible (5 par exemple) on doit pouvoir donner une series de conditions sur les racines qui permettent de décrire le groupe de Galois, par exemple en degrée 3 si le polynome est iréductible, alors :
si son discriminant est un carré le groupe de galois est Z/3Z sinon c'est S_3.
sauf que ca va devenir de plus en plus compliqué quand le degrée ca augmenter, et j'ai aucune idée de à quoi peuvent ressembler ces conditions en degrée 5... note cependant qu'il me semble qu'on peut trouver (cherche sur Wikipédia) un polynome en les coeficients de P qui est nul si et seulement si P est résoluble par radicaux.


enfin... pour répondre à la question "comment j'ai fait", j'ai ouvert un logiciel du nom de pari/Gp et j'ai tapé "polgalois("3*x^5-23*x^2+7)" et il ma gentielment répondu que c'était S5. (Note, tous les logiciel de calcule formelle : maple, mathématica etc... ont une fonction similaire)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

D'ailleurs, wikipedia te montre un peu la démarche sur un exemple simple. Tu peux voir que ca va vite devenir complexe : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois

Regarde la partie "Équation cubique" et imagine ce que ca donne avec un polynome de degrés 5

[invitea6f35777]

Merci beaucoup à vous deux pour toutes ces informations très intéressantes Cela répond parfaitement à mes questions, je vais essayer de chercher si je trouve le polynôme en les coefficients de P qui s'annule si et seulement si l'équation polynomiale associée à P est résoluble par radicaux.