complexe

[invite5dd498a7]

Voilà je viens d'arriver en PCSI et je bloque sur un DM en fait je ne vois aucun moyen de résoudre la question :

(E): z²+pz+q=0 avec p et q apartienne respectivement à C et C*
soit z1 et z2 les solutions de cette équation, j'ai démontré dans les questions précédente que z1+z2=-p et z1*z2=q

4. a. déterminer une condition nécessaire et suffisante (portant sur p et q) pour que z1 et z2 aient le même module.
b. calculer ce module.

J'avais pensé à p et q apartiennent à R mais comment calculer dans ce cas là?

5. a. déterminer une condition nécessaire et suffisante (portant sur p et q) pour que z1 et z2 aient le même argument
b. exprimer cet argument en fonction de celui de p

Alors pour la 5 je seche completement, donc j'aimerais de l'aide, pas forcément une réponse complete mais au moins quelque indice.
Merci d'avance
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[phys4]

Bonjour,

Pour la question 4, il n'y a pas trop le choix, les conditions demandées ne portent pas obligatoirement sur p et q en même temps. Que se passe t-il si p = 0 ?

Pour résoudre la question 5, j'essaierai d'écrire Z1 et Z2 sous forme module et argement dans els relations donnant p et q.
Au revoir.

[invitea3eb043e]

Reste dans la représentation module-argument.
Ecris z1 = R exp(i a1) et z2 = R exp(i a2) car ils ont le même module.
Tu vois que q = R² exp[i (a1 + a2)] et - p = R [exp(i a1) + exp(i a2)]
Et là, tu vois que R² est le module de q et que a1 + a2 est l'argument de q
De même, tu vas calculer le module et l'argument de la somme des exponentielles dans p (pas sorcier). Que vaut alors le module de p, son argument ?
Comment tout cela peut-il être compatible ?

Pour te mettre sur la piste, essaie de supposer que p et q sont réels, tu verras que ça ne marche pas toujours. Regarde les 2 cas : delta positif ou négatif.

[invite5dd498a7]

L'ennuie c'est que la 4 et la 5 sont indépendantes donc dans la 5 z1 et z2 n'ont pas le même module

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

La démarche est exactement la même, encore plus simple en fait. On voit que p² et q ont même argument, il y a aussi une condition sur p et q, qui est la même que s'ils étaient réels.