Egalité d'ensembles

[invite8a216543]

Bonjour, une chose que j'ai mal compris, donc si vous pouviez m'aider.

Pour montrer que deux ensembles sont égaux, on montre une double inclusion, jusque là je comprends. On peut faire en raisonnant par implications, pour montrer que A est inclus dans B, et B est inclus dans A.

Mais mon prof a donné une autre méthode que j'ai pas compris :

1) On montre que A est inclus dans B par exemple.

2) On exhibe un élément de B qui appartient à A, et ça permet de conclure que A = B

J'ai pas compris

Merci.
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[invite5ad8e560]

Je pense pas que ton prof ait fait cela.

1) On montre que A est inclus dans B par exemple.
2) On exhibe un élément de B qui appartient à A, et ça permet de conclure que A = B

Ça doit etre plutôt :

1) On montre que A est inclus dans B par exemple.
2) On montre qu'un élément quelconque de B appartient à A,
et ça permet de conclure que A = B

[invite88ef51f0]

Salut,
Et avec la précision apportée par Sadben2004, le point 2 revient à montrer que B est inclus dans A.

Une règle d'or dans ce genre de problème : dessiner des patates !

[invite8a216543]

Oui c'est la méthode que j'avais utilisé, mais son raisonnement était différent, je vous met l'exemple pour mieux comprendre :

A = { (x;y) de R² | 2x-y=1 }

B = { ( t+1 ; 2t+1 ) | t de R }

après avoir montré normalement que B était inclus dans A, on a pris le couple (1;1) qui était dans A, et on a montré que pour t=0, il appartenait à B.

Et on a conclu A= B.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Et bien, c'est faux.
Prenons l'ensemble des entiers N et l'ensemble des réels R. N est inclus R. Prenons un nombre dans R : 17. C'est un entier ! Donc N=R. Tous les réels sont des entiers.

Dans ton cas, tu peux aussi utiliser les dimensions : A est inclus dans B et la dimension de B est inférieure égale à celle de A (ça vaut 1), donc A=B.

[invite986312212]

remarque que là tu as un cas très particulier: A et B sont des droites de R^2, il suffit de montrer qu'elles ont deux points communs pour qu'elles soient égales.
c'est une des situations où on peut montrer une égalité entre ensembles sans passer par la double inclusion.
un autre cas est quand les ensembles sont finis, si tu montres que A est inclus dans B et que A et B ont même nombre (fini) d'éléments, tu as l'égalité.

[invite8a216543]

Je profite du post pour poser une question supplémentaire, simple question de notation :

que signifie la notation : (A exposant B) avec A et B deux ensembles

Merci

EDIT : en fait la notation est et je sais pas ce que c'est "c" ...

[invite8a216543]

C'est bon j'ai trouvé

Désolé.