Un autre problème d'intégrale impropre...

[invite356bf811]

Bonjour!

Je ne comprends pas un corrigé d'exercice.
Il s'agit de déterminer la nature de l'intégrale de 1 à l'infini de f(x)=(sin(x))/(sqrt(x)-sin(x))

Quand x tend vers + l'infini je trouve comme équivalent:
f(x)~sin(x)/sqrt(x)

D'après un exercice précédent du bouquin sur lequel je travaille je peux conclure que l'équivalent converge et que donc mon intégrale converge.

Or, malheureusement, le bouquin me dit qu'en fait, grâce à un développement limité en sin(x)/sqrt(x) on a:

f(x) = sin(x)/sqrt(x) + sin²(x)/x + o(sin²x/x)

En posant g(x) = sin²(x)/x + o(sin²(x)/x) et en disant g(x)~sin²(x)/x
ils montrent que l'intégrale de g diverge et que tout compte fait, l'intégrale de f diverge.

Pourquoi mes résultats sont ils contradictoires avec ceux du bouquin?
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[breukin]

Il y a un équivalent avec les séries : comparer les deux séries :

et

dont la première est convergente car alternée, en effectuant la différence.
Conclusion : ce n'est pas parce que des séries ont leurs termes équivalents qu'elles convergent simultanément. Pour cela, il faut des conditions plus fortes. Pareil pour les intégrales.
Revérifiez les conditions du bouquin.

[breukin]

Et donc il vous faut comparer les deux intégrales en effectuant leur différence :

et

[invite356bf811]

Ah! Je viens de comprendre! J'ai manqué à une hypothèse de mon théorème car sin(x)/sqrt(x) n'est pas de signe constant!... Quel buse!...
Merci bien!

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Il me semble que même si la fonction est de signe non constant, si l'intégrale est absolument convergente, alors il y a convergence de l'intégrale des fonctions équivalentes ?

Par exemple, on devrait pouvoir déduire la convergence de :

de celle de :


Evidemment, si la fonction est positive et d'intégrale convergente, elle est absolument convergente.