Relation de récurrence à un terme général [ Suites - Term S ]

[invite1ab46b65]

Bonjour à tous!

Je viens vous solliciter pour vous demander dem'aider à résoudre un problème de mathématiques qui est très difficile (ou me semble très difficile!)

Voilà donc l'énoncé:

La suite u(n) est définie par u(1)=1, u(2)=2 et pour tout n de N u(n+2) = 3(u(n+) ) - 2u(n)
Soit la suite v(n) = u(n+1) - u(n).

Questions:
Montrer que v(n) est géométrique, ca c'est bon, je l'ai fait.
Exprimer v(n) en fonction de n
J'ai trouvé ceci:
1/2 * 2^n


Question B (la plus ardue a mon gout):
En déduire l'expression du terme général de u(n) en fonction de l'entier n.

Ici, je coince littéralement,je ne comprends vraiment pas...
U(n) n'est ni arithmétique ni géométrique...
Comment passer d'une relation de récurrence (que j'arrive a isoler) à un terme général???

Notre pofesseur nous a dis de calculer v(n-3) + v(n-2) + v(n-1) + ... + v(1), mais je ne vois pas le but... J'arrive avec cette méthode a isoler u(n) mais il reste toujours un élément gênant!
Et comment faire une sommer d'une suite que nous ne connaissons ni arithmétique ni géométrique?

Je vous remercie vraiment beaucoup pour toute l'aide que vous pourrez nous procurer à moi et certains camarades

Bonne soirée!
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[invite4ef352d8]

Salut !

comme V(n)=U(n+1)-U(n), on a par une récurence immédiate

U(n)-U(0) = somme pour k=0 à n-1 de V(n)

V(n) étant une suite géométrique tu sais caluler la somme de ses thermes.

[invite1ab46b65]

Oh c'est vrai! Faire la somme de v(n), je comprends maintenant, mais je ne comprends pas de quel à quel terme...
Le but est d'isoler u(n), et je ne vois pas bien comment...

Cette histoire de
U(n)-U(0) = somme pour k=0 à n-1 de V(n)

Me parait un peu floue... Je ne voits pas bien.

Il faut donc faire la somme depuis v(n), mais d'où à où?

[invite9a322bed]

C'est pas niveau prépas ça, la prof se trompe, niveau 1ère !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ab46b65]

M'éclairer devrait être plus simple alors!

:s

Je suis vraiment bloqué là

Merci d'avance!

[invite9a322bed]

Calculer Vn+V_[n-1]+...+V(0) (somme d'une suite géométrique)

Puis écris Vn+V_{n-1}+V(0) en fonction de Un, et la suite s'ensuit.

[invite1ab46b65]

J'ai essayé de faire votre méthode mais je semble bloquer, je ne comprends pas vraiment pourquoi...

J'arrive donc à ceci avec votre explication:

S = Premier terme* (1-raison puissance nb de terme) / (1 - raison)

Soit

S = V(n) * (1 - 2 ^ n+1) / ( 1-2 )

Soit

[U(n+1) - U(n)] * (1 - 2 ^ n+1) / ( 1-2 )

C'est correct jusque là? Je ne vois pas trop...
Après le développement m'embrouille littéralement, je ne vois pas la simplification, et ca fait un bon moment que je suis plongé dedans...



Merci d'avance!

[invite1ab46b65]

Personne ?

:s

[breukin]

v_n–1 = u_n – u_n–1
v_n–2 = u_n–1 – u_n–2
v_n–3 = u_n–2 – u_n–3
...
v₂ = u₃ – u₂
v₁ = u₂ – u₁

Et vous sommez tout à gauche et tout à droite. Que trouve-t-on ?

u_n – u₁ = v₁+v₂+...+v_n–1

Le membre de droite est calculable puisque la suite est géométrique.
Donc on a trouvé u_n.

[Arkangelsk]

Bonjour,

Notre pofesseur nous a dis de calculer v(n-3) + v(n-2) + v(n-1) + ... + v(1), mais je ne vois pas le but... J'arrive avec cette méthode a isoler u(n) mais il reste toujours un élément gênant!
Et comment faire une sommer d'une suite que nous ne connaissons ni arithmétique ni géométrique?

C'est un "télescopage". Tu es sur la bonne voie en écrivant la somme des , qui sont les termes d'une suite géométrique dont tu connais la somme de à . Il te reste à exprimer en fonction de cette somme. Attends-toi à une petite surprise ...

[invite1ab46b65]

D'accord!

Un très très grand merci
En fait, v(n) = u(n)!!!


Merci Enormément! J'en connais qui vont être content!

[JPL]

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