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probabilité d'anniversaire



  1. #1
    sebpoirrier

    probabilité d'anniversaire


    ------

    Bonjour voici un exercice que j'ai à faire, ce que j'ai fait et ce que je n'arrive pas à faire :

    Le but est de calculer la probabilité que n personnes choisies au hasard aient le même jour d'anniversaire(sans tenir compte de l'année ni du 29 février). Pour simplifier le problème au lieu de noter le jour et le mois, par exemple 6 avril, on numérote les jous de l'année de 1 à 365.
    pour simplifier encore plus on peut imaginer le modèle suivant :
    on numerote 365 jetons de 1 à 365, que l'on place dans une urne. savoir le jour d'anniversaire de n personnes choisies au hasard revient alors à tirer au hasard n jetons, successivement avec remise : on tire un jeton, on le remet dans l'urne on fait ceci n fois.pour calculer la probabilité d'un évènement il est parfois plus facile de calculer celle de l'évènement contraire c'est ce que nous allons faire.

    1- quelle est la probabilité que deux personnes choisies au hasard n'aient pas le même jour d'anniversaire ?

    j'appelle cet évènement A
    j'ai trouvé p(A)=(365x364)/365²

    2-a quelle est la probabilité pour que trois personnes choisies au hasard aient toutes les trois des dates d'anniversaire differentes ?

    J'appelle cet évènement B
    j'ai trouvé p(B)=(365x364x363)/365^3

    2-b quelle est alors la probabilité pour que deux personnes au moins parmi les trois aient le même jour anniversaire ?

    j'appelle cet évènement C
    on peut passer par l'évènement contraire qui ici est B
    donc p(C)=1-p(B)=1093/365²

    3- An est l'évènement : "parmi n personnes prises au hasard, toutes les dates d'anniversaires sont differentes"

    3-a calculer p(A4). verifier que p(A4)=p(A3)x(362/365)

    j'ai trouvé p(A4)=(365x364x363x362)/365^4 et j'ai montré que p(A4)=p(A3)x(362/365)

    3-b justifier la relation p(A(n+1))=p(An)x((365-n)/365)

    alors c'est pour ça que je fais appel à vous cher matheux car je ne vois pas comment on peut justifier cette égalité ?????

    3-c prouvez que les nombres p(An) décroissent lorsque n croit.

    la aussi je bloque pouvez vous m'aider ?

    merci a vous
    en attendant vos messages, je vous souhaite une bonne soirée

    -----

  2. #2
    g_h

    Re : probabilité d'anniversaire

    Citation Envoyé par sebpoirrier

    3-b justifier la relation p(A(n+1))=p(An)x((365-n)/365)

    alors c'est pour ça que je fais appel à vous cher matheux car je ne vois pas comment on peut justifier cette égalité ?????

    3-c prouvez que les nombres p(An) décroissent lorsque n croit.

    la aussi je bloque pouvez vous m'aider ?

    merci a vous
    en attendant vos messages, je vous souhaite une bonne soirée
    Pour que n+1 personnes aient une date d'anniversaire différente, il faut que n aient une date différente, et que le dernier ait une date différente des autres...
    Il reste au dernier 365-n dates possibles, donc il y a (365-n) cas favorables sur 365
    la probabilité pour qu'il ait une date différente des autres est donc de (365-n)/365, et les probabilités se multiplient entre elles, donc...

    Ensuite, regarde le signe de p(An+1)-p(An), ça vaut p(An)*(-n/365). p(An) est positif (c'est une probabilité) et -n/365 est négatif (n>0), donc la différence est négative, donc les nombres p(An) décroissent

  3. #3
    shokin

    Re : probabilité d'anniversaire

    En admettant qu'il y ait exactement et toujours 365 jours par années.

    Citation Envoyé par sebpoirrier
    1- quelle est la probabilité que deux personnes choisies au hasard n'aient pas le même jour d'anniversaire ?
    Si je ne considère que deux personnes, on peut calculer la probabilités qu'elles aient le même jour d'anniversaire = x, puis faire 1-x. Donc la probabilité qu'elles tombent les 2 le premier jour est de 1/(365)^2, donc la probabilité qu'elles tombent le même jour est de 1/(365)^2 * 365 = 1/365. Donc la probabilité qu'elles tombent un jour différent est de 364/365 = P(A)

    Citation Envoyé par sebpoirrier
    j'appelle cet évènement A
    j'ai trouvé p(A)=(365x364)/365²
    qui va nous corriger alors qu'on a la même réponse ?

    2-a quelle est la probabilité pour que trois personnes choisies au hasard aient toutes les trois des dates d'anniversaire differentes ?
    Si l'on considère exactement trois personnes, la première a 365 choix, la deuxième a 364 choix, la troisième a 363 choix, chacune sur 365, donc p(B)=(365!/362!)/(365)^3

    J'appelle cet évènement B
    j'ai trouvé p(B)=(365x364x363)/365^3
    Nous semblons être sur la même longueur d'onde.

    2-b quelle est alors la probabilité pour que deux personnes au moins parmi les trois aient le même jour anniversaire ?
    Ben 1-p(B) comme tu dis.

    3- An est l'évènement : "parmi n personnes prises au hasard, toutes les dates d'anniversaires sont differentes"
    3-a calculer p(A4). verifier que p(A4)=p(A3)x(362/365)

    j'ai trouvé p(A4)=(365x364x363x362)/365^4 et j'ai montré que p(A4)=p(A3)x(362/365)
    ça me semble juste....

    3-b justifier la relation p(A(n+1))=p(An)x((365-n)/365)
    A chaque fois qu'on rajoute une personne, il y a 1/365 chances qu'elle tombe sur une date donnée parmi les 365 données.

    Mais comme n sont déjà prises, il en reste 365-n.

    D'où la probabilité (365-n)/365.

    3-c prouvez que les nombres p(An) décroissent lorsque n croit.
    (365-n)/365 décroît car il est plus petit que 1 car 365-n est plus petit que 365 car n est un entier strictement supérieur à 0.


    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  4. #4
    sebpoirrier

    Re : probabilité d'anniversaire

    merci beaucoup à vous pour ces messages, j'ai pu correctement finir mon exercice.
    bonne journée !

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