Démonstrations difficiles

[invite8c300b33]

Bonjour, je suis à l'Ensimag, admis sur titre après un IUT Informatique, et j'ai du mal avec quelques démonstrations.

En voici une qui consiste à démontrer que toute suite de Cauchy est bornée :

(Désolé, je ne connais pas assez bien Latex pour l'utiliser ici)

Pour tout epsilon>0, il existe N, tel que pour tout n, p supérieurs à N, on a abs(x_n-x_p) <= epsilon.

si epsilon=1, pour tout n >= N1, abs(x_n-x_N1) <= 1
=> abs(x_n) <= 1 + abs(x_N1) (2)

Donc pour tout n, abs(x_n) <= max(abs(x_0), abs(x_1), abs(x_(N1-1)), 1+abs(x_N1))

Conclusion: la suite est bornée.

Voilà, à partir de l'étape (2), je ne comprends plus, si vous pouviez m'éclairez...

Merci beaucoup !
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[thepasboss]

Bonjour,

C'est simple, pour l'étape deux tu écris l'inégalité :

|x(n) - x(N1)| < 1 pour tout n > N1

ce qui revient à dire en brisant la valeur absolue :

-1 < x(n) - x(N1) < 1
d'où x(N1) - 1 < x(n) < 1 + x(N1) pour tout n > N1

Ensuite si tu considère tout les termes de rang inférieur à N1, alors tu as un ensemble fini de réel, donc qui est majoré par un A réel, et on peut prendre ce A valant la plus grande valeur de x(n) pour n<=N1 (d'où le max(x(0),x(1),...,x(N1)))

Ensuite quand tu prend n quelconque, alors si n<=N1, alors x(n)<=A et si n>N1, x(n) < 1 + x(N1).

D'où pour tout n : x(n) <= max ( A , x(N1) + 1 )