Exercices difficiles

inviteaf68f0d4 · 20/06/2009, 08h06

Bonjour

Suite a la demande de plusieurs d'entre vous de leur envoyer des exercices difficiles , j'ai décidé de créer cette discussion pour les poster.

pour commencer :

I/

1-Determiner les couples d'entiers naturels (x,y) tel que x³-y³=999
2-Reprendre la meme question avec (x,y) couple d'entier relatif

invite9a322bed · 20/06/2009, 09h07

On a : $\text{[math]}$ .

On a $\text{[math]}$ .

Donc tu procède par identification... pénible à faire ^^ mais facile !

inviteaf68f0d4 · 20/06/2009, 09h33

L'identification est longue et penible , essaye de trouver une astuce qui reduit ta liste a 2 produit

invite9a322bed · 20/06/2009, 09h45

Envoyé par the0best

L'identification est longue et penible , essaye de trouver une astuce qui reduit ta liste a 2 produit

Tu connais déjà la réponse de l'exercice ?

Bon normalement on fait comme ça dans les cas classique.... Tu parles de réduire le produit à 2, je pense que j'ai mis 2 et non pas 3..

Postes ta solution, j'aimerai bien voir une astuce qui évite l'identification

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteaf68f0d4 · 20/06/2009, 10h01

Envoyé par mx6

Tu connais déjà la réponse de l'exercice ?

Bon normalement on fait comme ça dans les cas classique.... Tu parles de réduire le produit à 2, je pense que j'ai mis 2 et non pas 3..

Postes ta solution, j'aimerai bien voir une astuce qui évite l'identification

oui je connais le reponse mais je la poste parce qu'on m'a demande

En fait l'astuce permet de montrer que seul
3x333 et 9x111 peuvent etre valide
je n'en dirais pas plus pour l'instant

invite2220c077 · 20/06/2009, 13h01

Salut,

On montre que si $\text{[math]}$ est solution alors nécessairement soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont tous les deux multiples de 9 soit ils sont tous les deux de la forme $\text{[math]}$ . A partir de là, $\text{[math]}$ est multiple de 9 et $\text{[math]}$ est de la forme $\text{[math]}$ dans le deuxième cas, ou bien $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont multiples de 9 pour le premier cas.
Dans les différents produits, ce dernier cas n'apparaît pas, on ne tient donc compte que du premier.
On peut donc virer les cas 27*37 et 1*999 car 1 et 37 ne sont pas de la forme 9m + 3

inviteaf68f0d4 · 20/06/2009, 14h26

Envoyé par -Zweig-

Salut,

On montre que si $\text{[math]}$ est solution alors nécessairement soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont tous les deux multiples de 9 soit ils sont tous les deux de la forme $\text{[math]}$ .

Et comment montrer cela ?

J'avais une autre idee en tete

invite2220c077 · 20/06/2009, 15h17

Ca se montre facilement avec les outils de Terminale : les congruences, je ne sais pas si tu les connais ...

inviteaf68f0d4 · 20/06/2009, 16h47

Non je suis en seconde donc je connais pas tu pourrais pas vulgariser un peu ?

invite890931c6 · 20/06/2009, 16h51

les congruences ce sont l'étude des restes.

par exemple si $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ alors on dit que $\text{[math]}$ prononcé ("x est congru à 2 modulo 4) .

par exemple $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ : autrement dit 25 est divisble par 5.

exercice : quel est le reste de la division de $\text{[math]}$ par 24 ?

invite2220c077 · 20/06/2009, 17h00

Euh oui bon, pour l'exercice, encore faut-il poser les opérations autorisées sur les congruences ...

invite890931c6 · 20/06/2009, 17h13

oui c'est vrai devant la facilité de l'exemple j'en ai oublié les règles...

$\text{[math]}$ alors :

- $\text{[math]}$

- $\text{[math]}$

- $\text{[math]}$

par contre à part pour la 2) les réciproques sont fausses.

Quoi d'autres utiles ? avec ça tu peux traiter l'exemple je pense.

invite2220c077 · 20/06/2009, 17h15

Pour reprendre Vegetal. Les congruences sont des outils puissants utilisés en Arithmétique pour "manipuler" les restes dans la division euclidienne.

Soient $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ trois entiers relatifs. Les assertions suivantes sont équivalentes :

i) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ont même reste dans la division euclidienne par $\text{[math]}$

ii) $\text{[math]}$ est divisible par $\text{[math]}$

iii) $\text{[math]}$ (se lit " $\text{[math]}$ est congru à $\text{[math]}$ modulo s")

iv) $\text{[math]}$ a pour reste $\text{[math]}$ dans la division euclidienne par $\text{[math]}$

v) $\text{[math]}$ , pour un certain entier $\text{[math]}$

Les propriétés :

1. $\text{[math]}$

2. Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , pour tout relatif $\text{[math]}$

3. Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ entier relatif) alors :

a) $\text{[math]}$
b) $\text{[math]}$
c) $\text{[math]}$
d) pour tout naturel $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

invite2220c077 · 20/06/2009, 17h18

La division est, de manière générale, pas autorisée, à part dans certains cas très particuliers ...

invite2220c077 · 20/06/2009, 17h34

Exemples :

1. $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ qui est divisible par 10 (d'après ii)

2. Un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est aussi.

On pose $\text{[math]}$ notre entier, avec $\text{[math]}$ des entiers compris entre 0 et 9 (ses chiffres).Tout entier admet une unique décomposition, en base 10, de ce type (par exemple $\text{[math]}$ ).

Nous avons $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ qui est bien divisible par 9. Nous avons plus généralement, $\text{[math]}$ d'après la propriété 1.d., c'est-à-dire $\text{[math]}$ pour tout entier naturel $\text{[math]}$ . Ainsi, nous obtenons successivement :

$\text{[math]}$ (propriété 3 de Vegetal)
$\text{[math]}$
...
$\text{[math]}$

En sommant on obtient alors :

$\text{[math]}$

ou encore

$\text{[math]}$

En définissant $\text{[math]}$ comme la somme des chiffres de $\text{[math]}$ on obtient la relation de congruence suivante :

$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ est divisible par 9, c'est-à-dire si $\text{[math]}$ , alors d'après d'après 2. et 1. : $\text{[math]}$ . Donc, si $\text{[math]}$ est divisible par 9, alors la somme de ses chiffres l'est aussi.

Réciproquement, si $\text{[math]}$ est divisible par 9, alors on obtient de même $\text{[math]}$ . Donc si $\text{[math]}$ est divisible par 9, alors $\text{[math]}$ l'est aussi.

CQFD.

invitee210c01d · 20/06/2009, 17h56

Envoyé par -Zweig-

1. $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ qui est divisible par 10 (d'après ii)

Woops petite erreur de calcul là

.
Sinon il s'agit là d'un très bon résumé de cours je trouve. Il m'aura permis de saisir le principe et d'en apprécier l'utilité rapidement, merci.

invite2220c077 · 20/06/2009, 18h00

Oulàà !! Je voulais dire 30 bien sûr ....

Aller, un autre exercice :

Quel est le reste de la division euclidienne de $\text{[math]}$ par 7?

Indice :

Cliquez pour afficher

invite2220c077 · 20/06/2009, 18h04

Un autre :

Montrer que pour tout entier naturel $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est divisible par 5.

inviteaf68f0d4 · 20/06/2009, 18h08

merci pour l'explication ca en fait de belles propriétés a démontrer
par contre l'exo de vegetal aucune idee
Je suis arrive au meme resultat voici la demonstration

$\text{[math]}$ .

On a $\text{[math]}$ .

x et y sont des entiers naturel donc

xy > x-y

x²+y² > 2xy (identite remarquable) donc

x²+y² > 2(x-y) d'ou

$\text{[math]}$

Posons A= (x-y) on a donc

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (ou presque)

donc $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

et le reste vous connaissez

invite2220c077 · 20/06/2009, 18h13

Soyons fou :

Plus généralement, montrer que pour tout entier naturel impair $\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$

invite2220c077 · 20/06/2009, 18h18

Envoyé par the0best

merci pour l'explication ca en fait de belles propriétés a démontrer
par contre l'exo de vegetal aucune idee
Je suis arrive au meme resultat voici la demonstration

$\text{[math]}$ .

On a $\text{[math]}$ .

x et y sont des entiers naturel donc

xy > x-y

x²+y² > 2xy (identite remarquable) donc

x²+y² > 2(x-y) d'ou

$\text{[math]}$

Posons A= (x-y) on a donc

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (ou presque)

donc $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

et le reste vous connaissez

Bien

invitee210c01d · 20/06/2009, 18h24

Pour le reste de $\text{[math]}$ , j'ai fait de la façon suivante :

Cliquez pour afficher

Est-ce correct?

invite2220c077 · 20/06/2009, 18h27

Ton $\text{[math]}$ , c'est un entier quelconque ? Je ne vois pas d'où il sort ... Le reste est correct sinon.

inviteaf68f0d4 · 20/06/2009, 18h31

Pour les congruences je verrais plus tard en détail parce la cela fait beaucoup de propriétés que j'aimerais bien démontrer (je ne crois pas que cela sera difficile..)

Un autre problème que je viens de découvrir et qui ne m'inspire pas

Soit 'n' un entier naturel tel que les écritures en base de 10 (le mode de numération usuel) de 2ⁿ et 5ⁿ commencent par le même chiffre. Quel est ce chiffre ?

invitee210c01d · 20/06/2009, 18h32

Bah c'est juste pour préciser qu'on peut enlever 3 k fois enfait (kest un entier naturel), mais je viens de me rendre compte qu'il sert strictement à rien enfait.

invite2220c077 · 20/06/2009, 18h32

C'est le premier chiffre de la droite ou de la gauche des nombres ?

invite2220c077 · 20/06/2009, 18h38

Bon, je suppose que c'est celui de gauche ...

J'ai trouvé 3. Est-ce correct ?

inviteaf68f0d4 · 20/06/2009, 18h39

commencent par un meme chiffre ==> le premier de gauche non ?

inviteaf68f0d4 · 20/06/2009, 18h41

Envoyé par -Zweig-

Bon, je suppose que c'est celui de gauche ...

J'ai trouvé 3. Est-ce correct ?

Comment tu as trouve ?

Desole j'ai de reponses juste des donnees

invitee210c01d · 20/06/2009, 18h42

Je trouve n=5 s'il s'agit du chiffre de gauche mais c'est purement empirique pour ma part...
De toute façon le cas avec le chiffre de droite en commun n'existe pas il me semble.

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