Exercices difficiles

[inviteaf68f0d4]

Sinon, un que j'aime bien :

Déterminer tous les nombres premiers de la forme qui sont inférieurs à

Ou encore :

Montrer qu'un nombre de 9 chiffres distincts deux à deux, où 0 n'apparaît pas et qui se finit par 5 ne peut être un carré.

Desole j'ai pas pu me connecter hier , probleme de FAI

Vu que personne ne trouve des réponses a tes problemes pourrais-tu donner des indications ?
pense que leur resolution demandent des notions de terminale (je pense au congruences) je me trompe ?

j'attends qu'il soit résolu pour poster de nouveaux problèmes
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[inviteaf68f0d4]

Alors Zweig ?

[invite2220c077]

Pour l'exercice

Indice :

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Raisonner lorsque est pair d'une part et lorsque impair d'autre part en utilisant la relation lorsque est impair

[Flyingsquirrel]

Indice :

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Raisonner lorsque est pair d'une part et lorsque impair d'autre part en utilisant la relation lorsque est impair

Il manque un terme dans ta formule.

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pour impair

[invite2220c077]

Oui bien sûr, pardon !

[Universus]

Merci Zweig (et Flyingsquirrel pour la correction bien sûr ^^)!

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Sachant qu'en choisissant n=1 on a p=2, puisque est strictement croissante pour n pour plus grand que 1 et que 2 est le seul nombre premier pair, on a que n (plus grand que 1) doit être pair afin qu'on puisse avoir un nombre premier de la forme recherché. De plus, on peut constater que . Ainsi, il faut considérer les .

On peut écrire , I étant impair et i étant un naturel différent de 0. Ainsi, selon l'indice donné par Zweig : . p étant premier, soit ce qui multiplie la somme, soit la somme égale 1. Le facteur devant la somme ne peut égaler 1. Ainsi, cela doit être la somme qui égale 1. Cette somme étant une la somme d'une suite géométrique, on sait à quoi elle correspond et (je saute les étapes du calcul, qui assez brefs à faire, mais moins à écrire) on peut ainsi déterminer que I = 1.

On a donc que . Il reste à savoir quelles valeurs i peut prendre. i pouvant être pair ou impair, on l'écrit aussi de la forme , m étant naturel et j impair. On a donc :



Pour des raisons identiques à tantôt, la somme doit être égale à 1. On en déduit que j=1 aussi. Ainsi a-t-on :



avec m un naturel plus grand ou égal à 0. On a , qui vaut pour les premiers m : 2, 4, 16, ... Rappelons-nous que n doit être plus petit que 14 afin que p soit plus petit que , ainsi on a que , soit .

[invite2220c077]

C'est ça

[invitee210c01d]

Mais quand tu écris . n'est-il pas toujours pair alors que tu écris juste avant qu'il peut être pair ou impair?
Sinon bravo parce que ça fait un moment que je me casse les dents dessus moi ^^.

[Universus]

Si m=0, alors i est impair, puisque le terme associé au nombre 2 vaut 1. Cela fait partie des valeurs possibles pour m (tandis que i, lui, doit être différent de 0, puisqu'on considère des n pairs). Sinon, c'est toi Zweig qu'on doit féliciter, il fallait y penser!

EDIT : Non, tu as raison... vite comme ça, il y a peut-être un problème, mais je ne peux pas regarder ça tout de suite.

[Universus]

Non, laisse, l'édition de mon dernier message est une erreur de relecture de ton commentaire ^^ Il n'y a aucune raison a priori pour que i soit pair ou impair l'un plus que l'autre, donc ce que j'ai écrit dans mon message précédent (sauf l'édition) tient.

[invitee210c01d]

Ah oui en effet je n'avais pas pensé au cas de m=0.