Exercices difficiles

[invite2220c077]

Voici ma démo :

On vérifie que pour les deux nombres ne commencent pas par un même chiffre. On notre ce chiffre commun. On définit et comme le nombre de chiffres, respectivement, de et . On a alors ces inégalités, pour tout :





Soit par produit :



Ou encore :



Comme et , notre dernière inégalité est équivalente à :



Ainsi


-----

[inviteaf68f0d4]

Vous avez fait comment pour trouver ?

En effet il s'agit de 3 , je viens de vérifier cela en codant un peu.

[invite2220c077]

Voir plus haut .

[inviteaf68f0d4]

Voir plus haut .

Tres tres belle démonstration pour sa simplicité ..
Ca ne t'a pas pourtant pris beaucoup de temps qu'est ce qui t'a mis sur la bonne voie ?

[Seirios]

Soyons fou :

Plus généralement, montrer que pour tout entier naturel impair , on a :

 Cliquez pour afficher

. Or , donc ; tout ceci sachant que n est impair bien sûr.

[inviteaf68f0d4]

si quelqu'un a des exercices intéressant (olympiade,concours,...) qu'il les poste...
Je posterais d'autre demain matin

[invite2220c077]

Mon PDF : http://www.scribd.com/doc/16432373/entrainementcg

[invite2220c077]

Sinon, un que j'aime bien :

Déterminer tous les nombres premiers de la forme qui sont inférieurs à

[invite2220c077]

Ou encore :

Montrer qu'un nombre de 9 chiffres distincts deux à deux, où 0 n'apparaît pas et qui se finit par 5 ne peut être un carré.

[invite2220c077]

 Cliquez pour afficher

. Or , donc ; tout ceci sachant que n est impair bien sûr.

C'est ça !

[Guillaume69]

J'en propose un de probas.

"Un marcheur effectue n pas. Chaque pas peut se faire vers l'est, l'ouest, le nord ou le sud. Calculez la probabilité qu'il soit au point des n déplacements."

[Seirios]

"Un marcheur effectue n pas. Chaque pas peut se faire vers l'est, l'ouest, le nord ou le sud. Calculez la probabilité qu'il soit au point des n déplacements."

Que désigne exactement "le point des n déplacements" ? Simplement un point particulier que l'on peut atteindre après n déplacements comme indiqués ?

[Guillaume69]

mirf... j'ai oublié un gros bout de la phrase excusez moi

Je recommence :

"Un marcheur effectue n pas. Chaque pas peut se faire vers l'est, l'ouest, le nord ou le sud.
Calculez la probabilité qu'il soit au point de départ après les n déplacements."

Bonne nuit

[invitebfd92313]

Je tente une réponse au problème de guillaume :

 Cliquez pour afficher

Je trouve 0 si n est impair et si n est pair

[Guillaume69]

J'ai finalement révisé jusqu'à tard ^^

 Cliquez pour afficher

Juste lorsque n est impair. Par contre, ce n'est pas juste pour l'autre cas. Je pourrais peut-être donner quelques explications demain.

Cette fois, bonne nuit.

[invitebfd92313]

edit : en fait je me suis complètement trompé ^^

[invite9a322bed]

Bonjour Zweig

Peux tu énoncer les cas pour lesquels la division en congruences est admise ?

[invite2220c077]

Bah, si , avec premier avec , alors

Plus généralement, on a en fait :

[invite890931c6]

Théorème de Fermat.

[invite2220c077]

???

[Seirios]

Je pense que VegeTal pensait au théorème de Gauss

[Seirios]

Plus généralement, on a en fait :

Voici un essai de démonstration (c'est la première fois que j'utilise des valuations p-adiques, donc n'hésitez pas à me corriger s'il y a des erreurs) :

 Cliquez pour afficher

On a . Soit .

Or, si et , puisque .
Donc .

On retrouve la même inégalité si ; en effet, on a alors , et l'inégalité devient alors évidente.

Ainsi, dans tous les cas , et , ou autrement dit : .

[invitef1b93a42]

Ca m'a l'air bon tout ça

[invitedb2255b0]

Tu peux me fournir plus de détails sur ce que tu appels les Valuation p-adique ? (que tu note apparament =)

[invitef1b93a42]

La valuation p-adique d'un nombre c'est la plus grand puissance de p qui divise ce nombre. Par exemple . On en déduit facilement que .

[invitedb2255b0]

La valuation p-adique d'un nombre c'est la plus grand puissance de p qui divise ce nombre. Par exemple . On en déduit facilement que .

Merci parceque j'ai été faire un tour sur Wikipédia et j'ai rien compris ^^.
Apparament il est aussi que

Question, p est un nombre premier donc ?

[invite9a322bed]

Question, p est un nombre premier donc ?

Oui !

Je crois même que les règles calculatoires sont identiques à celle du logarithme......à vérifier, je ne suis pas un pro de valuations p-adiques...

[invitec317278e]

Ceci dit, Phys2, je trouve que ce n'est pas vraiment la peine d'introduire des valuations, et qu'on peut faire plus simplement en procédant de manière classique :

le sens de droite à gauche : en multipliant par c l'égalité : (a-b)=k.N/(PGCD(N,c)), le résultat est établi.
le sens de gauche a droite :
on a
donc, avec , on a
donc par gauss :
d'où le résultat.

[invite2220c077]

Sinon, un que j'aime bien :

Déterminer tous les nombres premiers de la forme qui sont inférieurs à

Désolé ! C'est

[Seirios]

Ceci dit, Phys2, je trouve que ce n'est pas vraiment la peine d'introduire des valuations, et qu'on peut faire plus simplement en procédant de manière classique :

le sens de droite à gauche : en multipliant par c l'égalité : (a-b)=k.N/(PGCD(N,c)), le résultat est établi.
le sens de gauche a droite :
on a
donc, avec , on a
donc par gauss :
d'où le résultat.

Effectivement ; je voulais tellement utiliser les valuations p-adiques que je ne l'ai même pas vu