Suites de Polynômes

[invite2dfae9f8]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour cet exercice, s'il vous plaît:

Soit la suite de polynômes (P_n) définie par:
P₁=1 P₂=X ∀n∊ℕ^* P_n+2=XP_n+1-P_n

1)Calculer P₃ et P₄
Bon ça c'est ok je trouve P₃=X²-1 et P₄=X³-2X

2)Montrer par récurrence que:
∀n∊ℕ^* ∀a∊]0;π[ sin(na)=P_n[2cos(a)]sin(a)
Alors là, j'utilise la récurrence double.
En initialisant: pour n=1 c'est trivial, pour n=2 je trouve bien sin(2a)=2cos(a)sin(a)
Je suppose ensuite la propriété vraie aux ordres n et n+1 et la montre à l'ordre n+2:
i.e montrer que ∀n∊ℕ^* sin(n+2)a=P_n+2[2cos(a)]sin(a)
Par la relation donnée en énoncé j'arrive à P_n+2[2cos(a)]sin(a)=[XP_n+1[2cos(a)]-P_n[2cos(a)]]sin(a)
P_n+2[2cos(a)]sin(a)=X[sin(n+1)a-sin(na)]
Après je vois pas trop comment faire pour arriver à la puissance (n+2), peut-être utiliser Moivre ?
-----

[invite2dfae9f8]

pour la dernière ligne le X n'est pas en facteur, pardon

[invite8a80e525]

Bonsoir,

tu es bien parti, à part que le X doit être remplacé par 2cos(a),
mais il ne faut pas s'arrêter de si bon chemin et appliquer ses formules de trigo:
P_n+2[2cos(a)]sin(a)=2cos(a)[sin(n+1)a-sin(na)]
=2cos(a)[sin(na)*cos(a)+sin(a)*cos(na)-sin(na)]
=sin(na)*(2cos²(a)-1)+cos(na)*2cos(a)*(sin(a)
=sin(na)*cos(2a)+cos(na)*sin(2 a)
=sin((n+2)a)

[invite2dfae9f8]

Pourquoi tu mets 2cos(a) en facteur, n'est-il pas multiplié simplement par sin(n+1)a ?
Ensuite, quand je lis la deuxième ligne, je vois que tu utilises la forme développée de sin[a(n+1)], a-t-on sin(n+1)a=sin[a(n+1)] ?
Désolé, je te paraît surement stupide, mais là j'ai du mal à suivre

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a80e525]

Oui désolé, c'est que des erreurs de frappe:

pour sin(n+1)a il faut lire sin[(n+1)a]
et le 2cos(a) est seulement multiplié par sin[(n+1)a]
Mais la suite est juste...

[invite2dfae9f8]

ouais ok, j'ai compris merci beaucoup, c'est sympa...
Ya une suite à l'exo, je vais essayer de chercher seul mais je risque de revenir à la charge d'ici demain

[invite2dfae9f8]

Bonsoir, voila après quelques recherches, je peine encore sur quelques questions.
3/ Déterminer les solutions de sin(ny)=0
Je ditingue bien entendu le cas n=0 et le cas n≠0.
Si n≠0, sin(ny)=sin(0) ssi n=0 [π]
Ce qui donne y=(kπ)/n.

4/-Quel est le degré de P_n?
A l'aide P₁;P₂;P₃;P₄ je conjecture deg(P_n)=n-1 et montre ce résultat par récurrence double sur n. (Ca c'est fait)
-En déduire toutes les racines de P_n, là je bloque en fait.
Ayant démontré que deg(P_n)=n-1, on a P∊K_n[X] et P n'est pas le polynome nul d'après la question 3 donc P admet au plus n racines distinctes. Vous pouvez m'aider un peu s'il vous plaît ?

[inviteaf1870ed]

Sers toi de ce que tu viens de montrer au 3/