[TermS] Suites et polynomes

[invite8241b23e]

Re-bonsoir à tous !

J'ai un soucis pour un exercice de TermS sur les suites. Je vous laisse l'exercice en pièce jointe et prie pour que vous arriviez à m'aider :

1. a) Sur [0 ; 1], on a une somme de fonctions croissantes, donc P_n est croissante. Pas sûr de la justification à vrai dire.

b) J'ai tourné en long, en large et en travers, je vois pas...

c) Pas de soucis là.

2. a) J'arrive au mieux à prouver que :

mais je n'arrive pas à prouver que c'est équal à (2ⁿ-1)/2ⁿ

Je crois que je vais en rester là pour ce soir.

Bonne nuit à tous !!
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[invitea7fcfc37]

Pour la b, ta valeur en x = 0 c'est quoi ?
Ton sens de variation ?
Ta valeur en x = 1 ?
T'auras aussi besoin de la continuité.

Pour la 2)a, en remplaçant 1/2 dans l'expression de la somme, et en disant que ça ressemble fortement à la somme des premiers termes d'une suite géométrique on arrive à rien ?

Désolé j'suis pressé

A+

[invite35452583]

Des indices :
1) a) la justification est suffisante, on peut ajouter strictement croissante (ce sera utile pour l'unicité de a_n.
1) b) l'indice a été donné par Knz (théorème des valeurs intermédiaires)
1) c) RAS
2)a) somme des termes d'une suite géométriques (cf; post de Knz)
Déduction :utiliser la croissance de P_n en sens "opposé" relation d'ordre sur images => relation d'ordre sur antécédents
2)b) il suffit de l'écrire et d'utiliser la définition de a_n
2)c) utiliser la croissance de P_n en sens "opposé", une fois de plus.
La déduction est triviale il suffit de sortir le mot
2)d) l'indice est donné par l'énoncé lui-même
3)a) les relations d'ordre larges sont conservées par passage à la limite donc utiliser 2)a)
La déduction : 2)a) déduction + croissance de P_n
3)b) : a<a_n donc...
Déduction : 3)a)déduction+3)b)
3)c) il faut faire converger la suite a_n' tout en conservant l'indice n pour P_n : l'astuce "doubler" l'indiçage (c'est français, ça ?)
i)Calculer P_n(a_(n+k)) (utiliser l'expression de la somme des premiers termes d'une suite géométrique)
ii) Tout en laissant n fixe faire tendre k vers l'infini (P_n reste les a_(n+k) deviennent des a)
3)d) évident

EDIT : 3)c)ii) utiliser un encadrement de a_(n+k) pour montrer une limite nulle d'un des termes

[invite8241b23e]

OK OK, je crois que ça commence à devenir plus clair.

Alors :

1. b) Pn(0) = 0 et Pn(1)=n donc comme la fonction est croissante etc etc...

2. a) Je n'ai pas de cours de mats, je ne connais donc pas la formule pour la somme de termes d'une suite...

b) Donc on va dire de façon évidente, j'aurais dû y penser.

c) et mais je ne vois pas quoi en faire j'avoue...

d) La suite est croissante, mais je n'arrive pas à voir qu'elle est majorée ? Ah si !! elle est majorée à 1/2, c'est ça ? La limite a est donc 1/2 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7fcfc37]

Somme des n premiers termes d'une suite géométrique de terme général u_n=u₀qⁿ :

1^erterme * (1 - raison^(nombre de termes))/(1 - raison)

ie dans ton cas

[invite9c9b9968]

Salut,

Je me lance dans la bataille :
1)

a/ Bon rien à dire, tu as tout à fait justifié comme il fallait
b/ Théorème des valeurs intermédiaires, la fonction gn(x)=Pn(x)-1 est continue, strictement croissante et gn(0) < 0 < gn(1), d'où le résultat.
c/Calcul

2)

a/ Comme le dit kNz, c'est une série géométrique. Il a bien rappelé la formule, fort utile, je la réécris :

avec u quelconque.

Sinon comme le dit homotopie, la croissance des Pn s'utilise cette fois en passant des images à leur antécédent (pour le justifier, il suffit d'un petit raisonnement par l'absurde : si P est croissante et P(a) > P(b) alors a>b car sinon on aurait a <= b donc par croissance P(a) <= P(b) ce qui n'est pas le cas).

b/ Tu l'as fait, maintenant c'est bon

c/ La suite n'est pas croissante mais décroissante (regarde l'énoncé ) Trouver un minorant n'est pas dur, regarde bien comment l'on définit la suite (dans quel intervalle notamment se trouve-t'elle ?) Pour démontrer l'inégalité demandé d'ailleurs, utiliser l'indication en se souvenant du sens de variation de Pn

d/ Trivial, il suffit de l'écrire (en utilisant bien sûr le résultat donné par l'énoncé. D'ailleurs exercice supplémentaire : le montrer )

3)

a/ Passage à la limite, les inégalités larges sont conservées (ah oui homotopie l'a déjà dit...) et comme alpha_n > 1/2 ... Ensuite, croissance de Pn bien sûr

b/ a < a_n, donc... Pour le en déduire, je pense qu'il faut invoquer un théorème quand même (le théorème des gendarmes), ce que dit homotopie ne suffit pas

c/ Il suffit juste d'appliquer une somme géométrique, mais cette fois la raison c'est a

d/ Appliquer le théorème de convergence des suite type uⁿ (ici u=a), puis l'unicité de la limite. Le reste est évident

[invite35452583]

b/ a < a_n, donc... Pour le en déduire, je pense qu'il faut invoquer un théorème quand même (le théorème des gendarmes), ce que dit homotopie ne suffit pas

Certes c'est mieux en rappelant le nom du théorème utilisé.

c/ Il suffit juste d'appliquer une somme géométrique, mais cette fois la raison c'est a

Alors là, oui, j'ai vraiment illustré le fameux "pourquoi faire simple quand on peut faire compliquer"

[invite8241b23e]

Salut !

En ben, malgré vos explications, je manque cruellement de cours...

1. b) Théorème des valeurs intermédiaires, la fonction gn(x)=Pn(x)-1 est continue, strictement croissante et gn(0) < 0 < gn(1), d'où le résultat.

Ma façon de faire n'était pas bonne ?

2. a) OK, pas de soucis.

On voit que . Comme la suite est croissante, alors

La justification est bonne ?

c) On a et Comme P est une suite croissante et que alors

Je pense que c'est correctement justifié.

d) Trivial, il suffit de l'écrire (en utilisant bien sûr le résultat donné par l'énoncé. D'ailleurs exercice supplémentaire : le montrer )

Ben la suite est décroissante, mais je ne vois pas en quoi elle est minorée...?

3. a) alors on a logiquement : Par contre, je ne sais pas ce qu'est un passage à la limite... Encore une fois, je travail sans filet... enfin sans cours !

b. OK ! P_n est croissante, encore une fois, et donc Par contre, mettre un théorème des gendarmes ou même une limite ici, je saisis pas...

c. OK, c'est tout bête, au temps pour moi !

d. Appliquer le théorème de convergence des suite type uⁿ (ici u=a), puis l'unicité de la limite. Le reste est évident

Tu vas rire, mais je vois pas ce qu'est ce théorème !

OUF, il n'y a plus que 4 questions qui m'embêtent !

[invite9c9b9968]

Pour la 1b, ta façon de faire était correcte car tu avais bien 1 dans [0;n], et comme Pn croissante et continue, tu peux appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

Pour la 2a, ce n'est pas la suite qui est croissante, c'est le polynôme (attention à ne pas t'embrouiller )

Pour la 2c, c'est parfait

Pour la minoration réfléchis bien : où évoluent les éléments sur lesquels agit Pn ?

Pour la suite, le passage à la limite signifie calculer la limite quand n tend vers l'infini

Enfin le théorème de convergence des suites du type uⁿ est : si u=1, la suite converge vers 1, si |u| < 1 la suite converge vers zéro, si u
>1 la suite diverge

[Duke Alchemist]

Bonjour.

...
avec u quelconque.

Presque quelconque... ne serait pas différent de 1, par hazard ?

Courage benjy, tu vas y arriver

Non, non le post n'est pas totalement inutile

Duke.

[invite8241b23e]

2. d) La suite est décroissante et Donc la limite est 1/2, donc la suite est décroissante et minorée. Pas sûr du tout de ma justification.

3. a) Pour la deuxième inégalité, pas de soucis. Par contre, je ne vois pas quelle limite il faut que je fasse...

3. b) et comme le polynome est croissant, etc...

limite + théorème des gendamres, ok !

3. d) Pour arriver au résultat, je pars du principe que a = 1/2. Et à la fin, je dois en déduire que a = 1/2. Y'a un soucis, non ?

Non, non le post n'est pas totalement inutile

Lol ! Si tu veux aider, tu es le bienvenu !

[invite35452583]

2)d) Presque
Citation :
La suite est décroissante et an>1/2 Donc la limite est 1/2, donc la suite est décroissante et minorée. Pas sûr du tout de ma justification.
Il est trop tôt pour affirmer que la limite est 1/2. A cet endroit du problème est montré :
i) la suite (an) est décroissante
ii) la suite (an) est minorée par 1/2
ce qui permet de conclure grace au théorème rappelé dans l'énoncé que la suite converge vers une limite a (sans connaître la valeur de la limite, il n'y a pas que 1/2 qui est un minorant, 0;-1;-2... en sont aussi des minorants mais ne sont pas la limite)
Ainsi dans la partie 3) on peut parler et utiliser cette limite a dont on est sûr qu'elle existe sans encore connaître sa valeur (bien qu'on s'en doute très fortement )

3)a) La seule chose à cet endroit que l'on connaît sur a est :
i) a est la limite de la suite an (en particulier a existe et donc on ne parle pas "dans le vide")
(Egalement : ii) a est plus petit que tous les an (car suite an décroissante)
Pour aboutir à a>=1/2 il faut utiliser ce qe l'on connaît sur a (cf; ci-dessus) et sur la suite an (et on sait quelque chose sur les an par rapport à 1/2)
("Rappel", vu l'absence de cours, si tous les termes d'une suite (un) vérifient un>=truc alors limite(un)>=même truc ; c'est peut-être ce qui te manquait )

3)d) oui il y a un problème à supposer avant la fin que a=1/2.
Ce problème doit être soulevé normalement en reprenant le 2)d). Tu aboutis alors à l'équation donné par l'énoncé sans cette hypothèse ad hoc. La résolution de cette équation n'est pas très difficile et enfin ( ) on aboutit à a=1/2.

Bon courage

[invite8241b23e]

Bon, je n'ai plus qu'une unique et dernière question !

pour le 3. a) On sait d'après le 2. a) que et en passant à la limite, je vois pas pourquoi on aurait . Pourquoi on passe de strictement supérieur à supérieur ou égal ? Gwyddon vient de me l'expliquer, mais ça paraissait plus logique au téléphone qu'à écrire...

[invitea8d97425]

En fait, c'est parce que à la limite, tu peux "toucher" la limite justement... Exemple simple : tous les 1/x sont tels que 1/x >0 si x >0, et si x tend vers + inf, on ne reste pas "strictement" au dessus de zéro, on "atteint" le zéro en un certain sens.
De toute façon, c'est une chose à retenir : le passage à la limite transforme toutes les inégalités en inégalités larges, puisque le passage à la limite peut permettre d'atteindre ce qui était auparavant strictement au dessus ou en dessous.

[invite8241b23e]

OK, ça marche !

Merci à tous !!