DM termS Suites

[invite451ae867]

Bonjour , je bute sur une petite question de mon DM et ca m'enbete beaucoup.

C'est un exercice sur les suites et les récurrences.

U0=1 et Un+1=((Un)+1)/((Un)+3)

1)Démontrer que pour tout n naturel UN est compris en tre 0 et 1

CA j'ai reussi mais ca peut peut être aider pour répondre a la deuxieme question

2)Prouver que la suite est strictement décroissante

J'ai donc fait Un+1-Un
ce qui donne (-Un²-2Un+1)/(Un+3)
donc je dois prouver que le polynome du second degré est négatif
en le factorisant j'obtient -(Un+1+racine2)(Un+1-racine2)
le premier facteur est positif comme Un compris entre 0 et 1 mais le deuxieme on ne peut pas savoir et c'est là mon probleme

Encore merci pour votre aide
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[invite5fb20d44]

2)Prouver que la suite est strictement décroissante

J'ai donc fait Un+1-Un
ce qui donne (-Un²-2Un+1)/(Un+3)
donc je dois prouver que le polynome du second degré est négatif
en le factorisant j'obtient -(Un+1+racine2)(Un+1-racine2)
le premier facteur est positif comme Un compris entre 0 et 1 mais le deuxieme on ne peut pas savoir et c'est là mon probleme

N'y a-t-il pas d'autres questions avant celle-là ?

Essaie de montrer que (u_n) est minorée par , ça pourrait t'aider.

[invite451ae867]

non la seule chose que l'on sait c'est que Un est compris entre 0 et 1 grace a la premiere question. J'ai essaiyer de minoré Un par racine de 2 -1 mais n'ayant pas Un je n'ai pas réussi.

[invite5fb20d44]

non la seule chose que l'on sait c'est que Un est compris entre 0 et 1 grace a la premiere question. J'ai essaiyer de minoré Un par racine de 2 -1 mais n'ayant pas Un je n'ai pas réussi.

Pourtant tu en as besoin. Si le terme initial était u₀=0, on aurait u₁=1/3, u₂=2/5. Alors u₀ < u₁ < u₂ et en fait la suite serait croissante.

As-tu déjà fait des démonstrations par récurrence ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite451ae867]

Le premier terme est U0=1 ce qui fait U1=1/2 et U2=3/7,
la suite est bien décroissante

J'ai résolu la première question grâce a un raisonnement par récurrence !

[invite5fb20d44]

J'ai résolu la première question grâce a un raisonnement par récurrence !

Bien sûr, je suis bête. Ben tu prends ta récurrence à bras le corps et tu démontres que pour tout n, u_n est plus grand que . Vois-tu comment conclure après ?

[invite451ae867]

Oui si j'y arrive il n'y a pas de problèmes après
(c'est partit)
encore merci