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[TermS] Limites de suites



  1. #1
    Therion

    [TermS] Limites de suites


    ------

    Bonjour à tous !!

    J'ai l'exercice suivant à faire (dans un DM) :

    "Cet exercice comporte six énoncés. Pour chaque énoncé indiquer s'il est vrai ou s'il est faux. Si l'énoncé est vrai, en donner la démonstration, s'il est faux, donner un contre-exemple :

    (Un) et (Vn) désignent des suites quelconques telles que : Pour tout n appartenant à N, Vn différent de 0.

    1) Si (Un+Vn) converge vers 1, alors (Un) et (Vn) sont convergentes.

    2) Si (Un) et (Vn) convergent vers 0, alors (Un/Vn) converge vers une limite finie.

    3) Si (Vn) converge vers 0 et si (Un/Vn) converge vers 1, alors (Un) converge vers 0.

    4) Si (Vn) est convergente, alors (|Vn|) est convergente.

    5) Si (|Vn|) est convergente, alors (Vn) est convergente.

    6) Si (Un2) est convergente, alors (Un) est convergente.
    Mes réponses :

    1) faux, exemple : Un+Vn = (1/n)+1 >>> converge vers 1

    Pourtant : Un = n+1+(1/n) >>> diverge
    Vn = -n >>> diverge

    2) faux, exemple : Un = 1/n >>> converge vers 0
    Vn = 1/n² >>> converge vers0
    Un/Vn = n >> diverge

    3) Vrai, je le démontre en disant que pour que Un/Vn soient égale à 1, il faut:
    - soit que le quotient des limites soit égal à 1 >>> impossible
    - soit que les deux limites soient infinies, auquel cas la limite est indéterminée et peut être 1 >>> impossible
    - soit que les deux limites soient égales à 0 (même raison) >>> seul cas possible.

    4) Je penche pour vrai mais je n'arrive pas à la démontrer

    5) Idem

    6) Idem

    Voilà, si quelqu'un veut me donner quelques indices... parce que je commence à sécher...
    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Danorane

    Re : [TermS] Limites de suites

    Salut !

    Il existe un contre exemple simple pour la 5 : | (-1)^n | est convergente, mais pas (-1)^n.

    Ce contre exemple sert aussi pour la 6.

    Pour la 4, il suffit de se souvenir de la définition de la convergence.

  4. #3
    Therion

    Re : [TermS] Limites de suites

    Merci!! j'avais pensé à n en puissance mais pas avec -1
    et pour la 4 j'ai essayé d'utiliser la définition, c'est-à-dire qu'il existe un a tel que :
    a<n, l-e<Vn<l+e

    mais je n'arrive pas à parler de la valeur absolue...

  5. #4
    Therion

    Re : [TermS] Limites de suites

    Et je trouve que |(-1)n| est divergente...

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : [TermS] Limites de suites

    On parle bien de suites, là, pas de séries ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Therion

    Re : [TermS] Limites de suites

    oui de suites quelconques.

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  10. #7
    Jeanpaul

    Re : [TermS] Limites de suites

    alors (-1)^n est divergente, tandis que la valeur absolue converge, idem du carré.

  11. #8
    Therion

    Re : [TermS] Limites de suites

    En effet, j'avais dû mal entrer dans ma machine. Il vaut mieux le faire à la main
    Et pour la 4 je ne vois toujours pas...

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : [TermS] Limites de suites

    On va le dire avec des mots, pas avec des équations.
    Si la suite V(n) converge, c'est que tu peux la rendre aussi proche de L (la limite) que tu veux. Donc si L n'est pas nulle, à un moment, V(n) aura le signe de L et la valeur absolue vaudra V(n) ou l'opposé, donc elle convergera.
    Si la limite est nulle, c'est encore plus simple puisque l'on peut rendre |V(n)| aussi petite qu'on veut.
    L'affirmation 4 est donc vraie (elle ne le serait pas pour une série).

  13. #10
    Therion

    Re : [TermS] Limites de suites

    Ok en fait c'est pas compliqué... Merci beaucoup
    Bilan :
    1) Faux
    2) Faux
    3) Vrai
    4) Vrai
    5) Faux
    6) Faux

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