[TermS] Limites de suites

[invite2fd735b7]

Bonjour à tous !!

J'ai l'exercice suivant à faire (dans un DM) :

"Cet exercice comporte six énoncés. Pour chaque énoncé indiquer s'il est vrai ou s'il est faux. Si l'énoncé est vrai, en donner la démonstration, s'il est faux, donner un contre-exemple :

(U_n) et (V_n) désignent des suites quelconques telles que : Pour tout n appartenant à N, V_n différent de 0.

1) Si (U_n+V_n) converge vers 1, alors (U_n) et (V_n) sont convergentes.

2) Si (U_n) et (V_n) convergent vers 0, alors (U_n/V_n) converge vers une limite finie.

3) Si (V_n) converge vers 0 et si (U_n/V_n) converge vers 1, alors (U_n) converge vers 0.

4) Si (V_n) est convergente, alors (|V_n|) est convergente.

5) Si (|V_n|) est convergente, alors (V_n) est convergente.

6) Si (U_n²) est convergente, alors (U_n) est convergente.

Mes réponses :

1) faux, exemple : U_n+V_n = (1/n)+1 >>> converge vers 1

Pourtant : U_n = n+1+(1/n) >>> diverge
V_n = -n >>> diverge

2) faux, exemple : U_n = 1/n >>> converge vers 0
V_n = 1/n² >>> converge vers0
U_n/V_n = n >> diverge

3) Vrai, je le démontre en disant que pour que U_n/V_n soient égale à 1, il faut:
- soit que le quotient des limites soit égal à 1 >>> impossible
- soit que les deux limites soient infinies, auquel cas la limite est indéterminée et peut être 1 >>> impossible
- soit que les deux limites soient égales à 0 (même raison) >>> seul cas possible.

4) Je penche pour vrai mais je n'arrive pas à la démontrer

5) Idem

6) Idem

Voilà, si quelqu'un veut me donner quelques indices... parce que je commence à sécher...
Merci d'avance
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[invite0d472bbe]

Salut !

Il existe un contre exemple simple pour la 5 : | (-1)^n | est convergente, mais pas (-1)^n.

Ce contre exemple sert aussi pour la 6.

Pour la 4, il suffit de se souvenir de la définition de la convergence.

[invite2fd735b7]

Merci!! j'avais pensé à n en puissance mais pas avec -1
et pour la 4 j'ai essayé d'utiliser la définition, c'est-à-dire qu'il existe un a tel que :
a<n, l-e<V_n<l+e

mais je n'arrive pas à parler de la valeur absolue...

[invite2fd735b7]

Et je trouve que |(-1)ⁿ| est divergente...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On parle bien de suites, là, pas de séries ?

[invite2fd735b7]

oui de suites quelconques.

[invitea3eb043e]

alors (-1)^n est divergente, tandis que la valeur absolue converge, idem du carré.

[invite2fd735b7]

En effet, j'avais dû mal entrer dans ma machine. Il vaut mieux le faire à la main
Et pour la 4 je ne vois toujours pas...

[invitea3eb043e]

On va le dire avec des mots, pas avec des équations.
Si la suite V(n) converge, c'est que tu peux la rendre aussi proche de L (la limite) que tu veux. Donc si L n'est pas nulle, à un moment, V(n) aura le signe de L et la valeur absolue vaudra V(n) ou l'opposé, donc elle convergera.
Si la limite est nulle, c'est encore plus simple puisque l'on peut rendre |V(n)| aussi petite qu'on veut.
L'affirmation 4 est donc vraie (elle ne le serait pas pour une série).

[invite2fd735b7]

Ok en fait c'est pas compliqué... Merci beaucoup
Bilan :
1) Faux
2) Faux
3) Vrai
4) Vrai
5) Faux
6) Faux