polynômes et suites

[invite3f4aa6ee]

salut à tous,

j'ai un exercice sur les suites à faire et je bloque sur quelles questions...
je suis vraiment nulle en ce qui concerne les suites et j'arrive jamais à prouver ce qu'ils demandent....!! donc un peu d'aide serait la bienvenue!!

voici l'énoncé:

pour tout n>1 , on donne Pn sur R par Pn(x)= X^n+X^n-1 +...+X+1

1. démontrer que Pn(an)=0 (= c'est OK)

2.a) prouvez que Pn+1(x)>Pn(x) (=ok)
b) deduire que Pn+1(an)>0 et donc que an+1 est dans ]0;an[ ( et la je bloque! )
c) sens de variation de (an) (= elle est bien croissante?)

3. a) prouvez que Pn= [(1-X^n+1)/(1-X) ] -2 (= j'avais bien commencé mais je me retrouve avec surement une erreur de calcul parce que il me reste un X^2 en trop!! )
b). deduiire 2an-(an)^n+1 -1=0 (=ok)

4. a) deduire... an^n<a2^n -->
b) deduire lim( n-->+) an^n=0 (ok) et lim(n-->+) an=0.5 (= comment on peut ariver a 0.5???)

donc voila mon exercice!il est vraiment long et j'aimerai vraiment comprendre... merci d'avance!
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[invite1237a629]

Yop,

C'est quoi an ??

[invite3f4aa6ee]

an= alpha n

[invite1237a629]

D'accord, mais ça correspond à quoi ? On ne sait rien sur an...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f4aa6ee]

ben c'est Pn(an)=O c'est tout ce qu'on sait
on doit prouver qu'il existe et travailler ensuite avec...!!

[invite1237a629]

Je persiste :

pour tout n>1 , on donne Pn sur R par Pn(x)= X^n+X^n-1 +...+X+1

1. démontrer que Pn(an)=0

On te donnerait un énoncé avec pour seule définition celle de Pn(x) et hop, la première question on te parle d'un an sorti de nulle part ?

Désolée, mais ça me bloque un peu pour t'aider pour les questions suivantes, d'où mon insistance...

[invite3f4aa6ee]

je n'ai pourtant que ça... on nous donne n>1, Pn un polynôme sur R, Pn(X)=... et la première question c'est bien : démonter que Pn possède un racine et une seule dans ]0;1[ . et par la suite on note an alors Pn(an)=0

[invite1237a629]

1. démontrer que Pn(an)=0 (= c'est OK)

je n'ai pourtant que ça... on nous donne n>1, Pn un polynôme sur R, Pn(X)=... et la première question c'est bien : démonter que Pn possède un racine et une seule dans ]0;1[ . et par la suite on note an alors Pn(an)=0

C'est pas la même chose que ce que tu as marqué... C'est plus clair là ! Tu n'avais pas non plus parlé de l'intervalle ]0,1[.

Essaie de comparer les deux, tu me diras si ce sont les mêmes informations


Pour la 2.b), sers toi de la 2.a)
Pn+1(x)>Pn(x).

Donc qu'en est-il de Pn+1 (an) ?

[invite3f4aa6ee]

dsl je pensais pas que sa changé grand chose...
tout ce que j'avais marqué c'est que puisque Pn+1(X)>Pn(X), Pn(an)=0 et que 0<an<1 alors Pn+1(an)>0... mais je suis pas sure que ce soi juste ni que cela suffise!

[invite1237a629]

Tu as juste à dire que Pn+1(an) > Pn(an) car Pn+1(x)>Pn(x) quel que soit x € 0,1.
Or, Pn(an)=0 (cette phrase est la clé )
Donc Pn+1(an)>0

[invite3f4aa6ee]

ok!merci beaucoup!!

mais j'ai encore une question (si c'est pas trop demander..)
pour la limite en +inf =0.5 est-ce que j'ai le dorit de dire que puisque 2an-(an)^n+1 - 1=0 , lim an= lim [(an)^n+1 +1 ]/2 or lim an^n=0 donc lim [(an)^n+1]/2=0 et donc que lim an=0.5 ?? ou je suis à coté de la plaque?

[invite1237a629]

Si tu es à côté de la plaque, alors moi aussi

Bon, pour chipoter :

2an-(an)^n+1 - 1=0 , lim an= lim [(an)^n+1 +1 ]/2

Pour passer de l'un à l'autre, je te conseille de mettre :
2an-(an)^(n+1) -1 = 0
Donc an = (an^(n+1) +1)/2

lim an= lim [(an)^n+1 +1 ]/2

lim an^n=0

car an est compris entre 0 et 1.
N'oublie pas de préciser lim quand n tend vers l'infini hein ^^


Sinon, le raisonnement est tout à fait correct

[invite3f4aa6ee]

super!!!merci beaucoup! j'ai enfin mon problème de suite réglé!lol!

encore merci! a+

[invitec053041c]

lim an^n=0

car an est compris entre 0 et 1.

Pour passer à lim (an)^n=0, le bon argument n'est absolument pas que 0<an<1, car sinon le résultat est faux (par exemple si an=1-1/n).
Le bon argument est 0<an<a2 avec a2 fixé<1.

[invite1237a629]

Ha pardon, c'est vrai... je voyais le truc comme une constante ^^ mici (oéoé, c'est pas mon exo et alors ?)