Calculer les Dérivées

[invite79496be0]

Bonjour,

Je suis vraiment perdu dans la notion des Dérivées. J'essaie de faire des travaux pratiques, et je n'y comprend rien, quelqu'un peut m'expliquer et me donner les solutions aux questions suivante afin de voir si je suis sur la bonne voie ?

Voici la question :

Calculer les dérivés de f par rapport à t des expressions suivantes :

a- f(t,x) = 2tx (x est une constante par rapport à t)
b - f(t) = sin(5t) + t
c - f(t) = cos(t²) + e²t
d - f(t) = 2x + 3 * cos(tan(x/2))
e - f(t) = sin(t)/t
f - f(t) = t/sin(t)
g - f(t) = sin(t)/cos(t)
h - f(x,y,t) = 2xty + sin(x) + sin(t) + cos(y) (x et y constantes par rapport à t)
i - f(t) = 2sin(t)cos(t)
j - f(t) = sin(t)cos(t) + cos(t)sin(-t)

Si quelqu'un peux m'expliquer comment faire ce serait grandement apprécié.

c'est mon premier post, alors soyez indulgent si la forme n'est pas parfaite
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[Jeanpaul]

Calculer les dérivés de f par rapport à t des expressions suivantes :

a- f(t,x) = 2tx (x est une constante par rapport à t)
b - f(t) = sin(5t) + t
c - f(t) = cos(t²) + e²t
d - f(t) = 2x + 3 * cos(tan(x/2))
e - f(t) = sin(t)/t
f - f(t) = t/sin(t)
g - f(t) = sin(t)/cos(t)
h - f(x,y,t) = 2xty + sin(x) + sin(t) + cos(y) (x et y constantes par rapport à t)
i - f(t) = 2sin(t)cos(t)
j - f(t) = sin(t)cos(t) + cos(t)sin(-t)

Faut pas se laisser impressionner par les notations. La variable s'appelle t, bon, même si souvent elle s'appelle x.
2x est une constante, on peut l'appeler a. La dérivée de f(t) = a t vaut a donc ici, elle vaut 2 x.
Ensuite, tu as des fonctions composées : f(t) = F(u) avec u=G(t). La dérivée vaut alors F'(u).G'(t). Ici, ça s'écrit :
f(t)= sin(5t) + t, c'est une somme, donc on s'intéresse à la dérivée de sin(5t) et on ajoutera celle de t, qui vaut 1.
f(t) = sin(5t), que j'écris f(t) = sin(u) avec u = 5t.
sin'(u) = cos(u), c'est dans le cours et la dérivée de 5t, c'est 5, donc
f'(t) = 5 cos(5t) + 1

Plus tordu, le 5 : f(t) = 2x + 3 * cos(tan(x/2)) : rien ne dépend de t, donc la dérivée vaut 0 (sûr d'avoir bien recopié ?)
Plus difficile : f(t) = sin(t)/cos(t)
C'est un quotient u/v dont la dérivée vaut (v u' - u v')/v² : c'est dans le cours.
u = sin(t) donc u' = cos(t) : dans le cours
v = cos(t) donc v' = - sin(t)
En combinant : (v u' - u v')/v² = [cos(t).cos(t) - sin(t).(-sin(t))]/cos²(t) et ça vaut 1/cos²(t) à cause du cos² + sin²

Bref, il faut toujours décomposer les éléments en somme, produit, combinaison de fonction. On introduit le nombre de fonctions intermédiaires qu'il faut et ça deveitn simple.