équations différentielles
Bonjour,
On a pas encore commencé l'étude des équations différentielles en maths. Toutefois, le prof de physique nous a demander de résoudre quelques équations en relation avec des chapitres. la première: (E1) x²y"(x)+2xy'(x)-2y(x)=0. voici ce que j'ai fait:
On pose U(x)=x²y'(x)-2 integrale(y(x))dx
cela implique U'(x)=x²y"(x)+2xy'(x)-2y(x).
si U'(x)=0 alors U(x)=cte implique x²y'(x)-2 integrale(y(x))dx=cte
On pose V(x)=integrale(y(x))dx donc V"(x)=y'(x).
en remplaçant on obtient: x²V"(x)-2V(x)=cte
pour x=0 on a -2V(0)=cte alors y(0)=0
pour x non nul on a (E1')V"(x)-2/x² V(x)=c/x² (cte=c de R)
Ce qui nous donne une équation différentielle avec second membre.
la solution s'écrit V(x)=V1(X) + F(x) / V1(x) solution de l'équation sans second membre, et F(x) solution particulière avec même forme que second membre.
on a -2/x² < 0 donc après le calcul on trouve
V1(x)=A1e^(-rac2x)+A2e^(rac2x) /A1 et A2 sont des constantes.
on a F(x)=c'/x² solution particulière donc en remplaçant dans (E1')
c'/x²=c/4 donc: V(x)=A1e^(-rac2x)+A2e^(rac2x)+c/4
V'(x)=y(x)=-A1(e^(-rac2x))/rac2x+A2(e^(rac2x))/rac2x
voilà, j'ai jamais résolu ce type d'équations différentielles. j'aimerai qu'on me confirme cette démonstration, s'il y'en a d'autres...
Merci de vos réponses
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