intégrale généralisée arct

[invite367ab4c7]

bonsoir à tous je suis nouvelle sur le forum et j'ai vrt besoin de votre aide por un exercice !!! je seré vrt reconnaissante pour n'importe quelle aide .
l'énoncé se présente comme suit:

1 donnez les racines complexes du polynome P(t)=t^4 + 1
2 en déduire une factorisation de P en produit de deux facteurs du second degré
3 montrons que l'intégrale de 0 a + l'infini de 1/(Vt(1+t^2)) dt EXISTE et donner sa valeur.
4soit a un réel strictement positif pour quels valeurs de a l'integrale de 0 a +l'infini de arctant / t^a existe elle ??
calculer sa valeur pour a = 3/2
5 détérminer en justifiant avec soin lim ntend vers l'infini de lintégrale de 0 a + linfini de arctant /(T^3/2 + t^n)


jé su résoudre léquation é factoriser mais je bloke sur la kestion 3 ... aidé moiiiii svp !
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[invite899aa2b3]

Bonjour.
Quelle est l'intégrale en question exactement?
?

[invite367ab4c7]

wéwé en effet cé lintégrale en question ..... merci d'aavance

[invite34b13e1b]

Salut,
Dans la 3, en opérant le changement de variable
tu retombes sur ce que tu as fais dans les deux premières questions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite367ab4c7]

wéwé en effeeeeeeet merciiii infiniment pr l'aide

[invite367ab4c7]

O faite aprés le changement de variable en question je trouve cé lintegrale de 0 a + linfini de 2/(1+u^4) .
en 0 lintégrale est bien définie en + linfni la limite vaut 0
é quelle est la relation avec la factorisaton en question

[invite899aa2b3]

Cela permet de faire la décomposition en éléments simples.

[invite34b13e1b]

J'ai regardé de plus près le pb:
la décomposition en éléments simples de 1/(x^4+1) est la somme de deux fractions rationnelles (avec des racines de 2 un peu partout).
Pour les intégrer les deux fractions, j'ai fais apparaître dans chacunes des fractions une partie dont l'intégrale est un logarithme, et dans l'autre un arctangente.

C'est long mais ca aboutit...

Juste pour voir t'as trouvé quoi comme décomposition de 1/x^4+1?

[invite367ab4c7]

jé beau éssaiyé mais en vain !!!!!!!!!!!!!!! jé po su faire la décomposition un petit coup de main serai le bienenu é merciiiiiiii bcp pr votre temps

[invite34b13e1b]

Tu disais dans ton premier post avoir réussi les 2 premières questions. C'est pour ca qu'on est passé direct à la 3.

As-tu factorisé le polynôme?
Petite astuce qui permet d'éviter le passage vers les complexes pour retourner vers les réels:
X^4+1=X^4+2X^2+1-2X^2

Après c'est la méthode habituelle:
il faut trouver A,B,C, et D qui vérifient:

par n'importe quel moyen... (*X + passage à la limite, passage par les complexes, donner une valeur à X,...).

[invite367ab4c7]

wéwé ce que jé trouvé est

t^4+1= (T2 _( 1/V2 +i1/V2)2)(T2 _( 1/V2 -i1/V2)2) mais ca na rie avoir avec ce que vous venez de dire

[invite34b13e1b]

Tu as dis que tu n'avais pas fait la décomposition en éléments simples.
Pour l'effectuer, il fallait passer par la factorisation du polynôme c'est tout.

Bon je suppose que la décompostion est faite, perso j'ai:
(je suis loin de garantir le résultat, mais bon...)

A intégrer c'est "très facile"! (du moins "plus" facile)

[invite367ab4c7]

wéwé je pense que le calcul est bon mais je vois pas la facilité de lintégration dont vous avez parler !!!! et merci bcp cleanmen

[invite34b13e1b]

Bah j'ai dis que c'était facile, mais je l'ai pas fait jusqu'au bout...

Ma méthode n'est peut-être pas la plus rapide mais elle a le mérite de marcher:

_il faut t'arranger pour retrouver l'intégrale du log du dénominateur, en ajoutant et retranchant ce qu'il faut dans le numérateur.
_la fraction qui reste est à intégrer est du type 1/(ax²+bx+c)
je pense que tu dois connaître le moyen d'intégrer cela (--> forme canoniq + chgt de variable pour retrouver une derivée de l'arctan)

[invite367ab4c7]

MmMmMmm je vois jéssairé de trouvé l'arct !!! et pour la limite de l'arct .... une idée ?????????

[invite34b13e1b]

ca tend vers Pi/2 en l'infini l'arctan...
(reciproq de tan qui tend vers l'infini en Pi/2)

[invite367ab4c7]

wéwé je c .... mé le robléme se pose en le t a la puissance alpha ??????
é cmt la calculer ?

[invite34b13e1b]

Je t'es tout dit:
pour intégrer (2+xrac(2))/(x²+xrac(2)+1) tu fais apparaître au numérateur tout le nécessaire pour intégrer en ln(dénominateur).
Ce qui reste est du type 1/(ax²+bx+c)
forme canoniq --> 1/(x+d)²+e apprait tu le mets de la forme 1/(x+f)+1.
tu fais un chgt de variale u=x+f
tu retrouves de l'arctan.

[invite367ab4c7]

wéééé cé fait merci infiniment !!!!!!!

[invite34b13e1b]

et tu trouve quoi comme solution au final? (intégrale de 0 à l'infini de 1/x^4+1)