un problème complexe

[Shadowlugia]

Bonjour,

je m'échine depuis une semaine sur un exercice qu'un ami m'a donné, et je ne parviens pas à trouver la réponse. Voici l'énoncé :

Soit a un réel fixé ; résoudre le système suivant dans R² :

cos a + cos (a+x) + cos (a+y) = 0
sin a + cos (a+x) + sin (a+y) = 0


Pour information, j'ai déjà multiplié la deuxième ligne par i, puis additionné les deux lignes pour obtenir :
exp (ia) + exp [i(a+x)] + exp [i(a+y] = 0.
<=>exp (ia) * [1 + exp (ix) + exp (iy)] = 0
<=>1 + exp (ix) + exp (iy) = 0.

Mais passé ce point, je bloque...j'ai bien essayé de repasser par la forme trrigonométrique pour ensuite obtenir le système :
1 + cos x + cos y =0
sin x + sin y = 0.
mais je n'arrive pas aller plus loin. j'ai essayé de développer (cos x + cos y) et (sin x + sin y) mais ça n'a pas l'air d'avancer à quoi que ce soit...

Pouvez vous m'aider svvp ?
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Soit a un réel fixé ; résoudre le système suivant dans R² :

cos a + cos (a+x) + cos (a+y) = 0
sin a + cos (a+x) + sin (a+y) = 0

C'est un sinus à la place du cosinus dans la seconde ligne ?

<=>1 + exp (ix) + exp (iy) = 0.

Mais passé ce point, je bloque...j'ai bien essayé de repasser par la forme trrigonométrique pour ensuite obtenir le système

Essaie d'interpréter géométriquement l'égalité , si tu y arrives ce sera facile de voir comment on peut conclure.

[Shadowlugia]

oui c'est bien un sinus, je me suis trompé

[breukin]

Effectivement, sans passer par les complexes, on arrivait à :
cos a (1 + cos x +cos y) – sin a (sin x + sin y) = 0
sin a (1 + cos x +cos y) + cos a (sin x + sin y) = 0

Donc :
1 + cos x + cos y = 0
sin x + sin y = 0

Que peut valoir y en fonction de x si sin y = –sin x ?
Autre manière : comment exprime-t-on une somme de 2 sinus en un produit ? (on écrit souvent sin p + sin q, va-t-on savoir pourquoi ?)

[A voir en vidéo sur Futura]