2 questions sur les suites et relation binaire

invite00c73359 · 20/09/2009, 16h04

Bonjour,

J'ai un problème avec un exercice sur les suites.
Le voici :

On a $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$
Montrer que la suite $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est une suite géométrique.
On pose $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ entier naturel.
Exprimer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ .
Exprimer $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et déterminer la limite de $\text{[math]}$

Je bloque sur exprimer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et donc je ne peux pas avancer dans l'exercice.

Mon second problème est sur un exercice faisant intervenir les relations binaires.

Le voici :

Soit $\text{[math]}$ une relation binaire sur un ensemble E

Démontrer que, pour que $\text{[math]}$ soit une relation d'équivalence, il faut et il suffit qu'elle soit réflexive et que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ implique $\text{[math]}$

Il faut donc démontrer que si $\text{[math]}$ est réflexive et transitive alors $\text{[math]}$ est symétrique, c'est ça ? Je bloque totalement, je ne sais même pas par où commencer ...

Merci beaucoup à tous !

invitea07f6506 · 20/09/2009, 20h32

Premier exercice

Tu as déjà calculé $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Tu as dû t'apercevoir que $\text{[math]}$ était une suite géométrique.
$\text{[math]}$ est une suite télescopique (dans sa définition). On a facilement :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ s'écrit donc comme la somme des termes d'une suite géométrique, dont on connaît le premier terme et la raison ; il est aisé d'en déterminer une expression en fonction de $\text{[math]}$ .

Deuxième exercice

Il serait vain d'essayer de démontrer qu'une relation réflexive et transitive est symétrique. Par exemple, la relation $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ est symétrique, transitive, mais certainement pas réflexive.

Deux petites remarques, cependant :
* On demande de démontrer une équivalence ; il y a donc deux sens à montrer (l'un est trivial, l'autre est celui qui te pose problème).
* La propriété "pour tous x, y et z, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ impliquent $\text{[math]}$ " n'est pas la propriété de transitivité. Il faut donc démontrer la transitivité et la symétrie ; pour cette dernière, que ce passe-t-il si l'on prend en particulier $\text{[math]}$ ?

invitea07f6506 · 20/09/2009, 20h38

Ah, j'oubliais : et la transitivité se démontre en utilisant cette propriété et la symétrie.

invite00c73359 · 22/09/2009, 19h48

Ok merci pour les suites je vois !
Pour les relations c'est un petit peu plus laborieux ^^ mais j'essaie. Ça fait vraiment peu de temps qu'on est dedans, je pense qu'avec le temps ça viendra ...

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