[MPSI] Bijectivité d'une application

invitebe08d051 · 22/09/2009, 17h34

Salut les amis !!!

J'ai un DL à rendre cette semaine sur la fonction caractéristique, j'ai tout réussi à faire, à part une question qui me pose un problème la voici:

Rappel de la fonction caractéristique pour ceux qui ne la connaisse pas:
Soit $\text{[math]}$ un ensemble non vide, pour chaque partie de $\text{[math]}$ on définit $\text{[math]}$ une application de $\text{[math]}$ vers {0,1} par:

$\text{[math]}$

Soit l'application $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Montrer que $\text{[math]}$ est bijective.

J'ai commencer par étudier l'injectivité et la surjectivité de $\text{[math]}$ :

Un résultat déjà établit : $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux parties de $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ est injective.

Pour la surjectivité, j'avoue que je m'y perds, j'ai essayé d'utiliser la définition mais ça ne donne rien, j'ai même tenté un raisonnement par absurde mais en vain....

Je souhaiterai si c'est possible une indication sur ce sujet.

Avec mes remerciements.

**Médiat** · 22/09/2009, 17h41

Envoyé par mimo13

$\text{[math]}$

Une petite erreur de notation :
$\text{[math]}$

Envoyé par mimo13

Pour la surjectivité, j'avoue que je m'y perds, j'ai essayé d'utiliser la définition mais ça ne donne rien, j'ai même tenté un raisonnement par absurde mais en vain....

Soit f une fonction de E dans {0, 1}, as-tu pensé à étudier l'image réciproque de 1 par f (c'est à dire $\text{[math]}$ ).

**Flyingsquirrel** · 22/09/2009, 17h57

Envoyé par Médiat

(c'est à dire $\text{[math]}$ ).

Vous écrivez « $\text{[math]}$ » au lieu de « $\text{[math]}$ » volontairement ?

invitebe08d051 · 22/09/2009, 18h01

Envoyé par Médiat

Soit f une fonction de E dans {0, 1}, as-tu pensé à étudier l'image réciproque de 1 par f (c'est à dire $\text{[math]}$ ).

Comment on peut parler de $\text{[math]}$ sans rien savoir sur la bijectivité de $\text{[math]}$ ??

Image réciproque d'une partie ou d'un élément ??...

Grillé !!!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 22/09/2009, 18h06

Envoyé par Flyingsquirrel

Vous écrivez « $\text{[math]}$ » au lieu de « $\text{[math]}$ » volontairement ?

Quelle différence faites-vous ?

Pour moi :

$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$

invite97a92052 · 22/09/2009, 18h08

$\text{[math]}$ est une notation utilisée partout pour désigner l'image réciproque.
Rien n'empêche de définir $\text{[math]}$ puisque c'est la même chose !
Ce n'est pas parce que vous connaissez une définition qu'elle est la seule et l'unique acceptable, il faut savoir s'adapter

invitebe08d051 · 22/09/2009, 18h19

Envoyé par g_h

$\text{[math]}$ est une notation utilisée partout pour désigner l'image réciproque.
Rien n'empêche de définir $\text{[math]}$ puisque c'est la même chose !
Ce n'est pas parce que vous connaissez une définition qu'elle est la seule et l'unique acceptable, il faut savoir s'adapter

Il faut savoir s'adapter tout en restant assez rigoureux, pour moi les notations ne signifient pas la meme chose:

Par exemple, on peut dire que $\text{[math]}$ tandis que $\text{[math]}$ peut meme ne pas exister si $\text{[math]}$ n'est pas bijective.

Cordialement

**Médiat** · 22/09/2009, 18h24

Envoyé par mimo13

Il faut savoir s'adapter tout en restant assez rigoureux, pour moi les notations ne signifient pas la meme chose:

Par exemple, on peut dire que $\text{[math]}$ tandis que $\text{[math]}$ peut meme ne pas exister si $\text{[math]}$ n'est pas bijective.

Je crois que je ne vais devenir très rigoureux et ne plus perdre mon temps à vous aider, mais en tout état de cause, je ne vois pas ce qui empêche que $\text{[math]}$ cf. la définition que j'ai déjà donnée.

Adieu.

invitebe08d051 · 22/09/2009, 18h30

Envoyé par Médiat

Je crois que je ne vais devenir très rigoureux et ne plus perdre mon temps à vous aider, mais en tout état de cause, je ne vois pas ce qui empêche que $\text{[math]}$ cf. la définition que j'ai déjà donnée.

Adieu.

Je vous rappelle que personne ne vous force à m'aider et si vous pensez que c'est une perte de temps tant mieux !!!

il y a une différence, mon cher, entre aider les gens et leur imposer ses propres définitions. (ok ??)

A la Prochaine !

invite97a92052 · 22/09/2009, 18h31

Ah, il y a confusion !

Dans les 2 utilisations que tu écris, tu écris $\text{[math]}$ .
Pourquoi le premier $\text{[math]}$ existe toujours alors que le second pourrait ne pas exister ? Alors que tu emploies la même notation $\text{[math]}$ , donc à priori on parle de la même chose.

On a aucunement besoin de l'existence de la réciproque de f (ie. f doit être injective) pour parler du $\text{[math]}$ que l'on emploie dans le contexte du calcul d'une image réciproque.

Si on t'a enseigné que $\text{[math]}$ est la réciproque, alors tu ne dois pas l'utiliser dans aucun des 2 cas, sauf si tu as montré la bijectivité.

Pour être logique avec toi-même et ton cours, tu ne dois même pas écrire $\text{[math]}$ !

C'est un abus de notation dans les 2 cas

J'avais un prof qui entourait le "-1" de $\text{[math]}$ pour désigner l'image réciproque afin d'éviter toute confusion, mais on arrive à s'en passer assez vite sans que ça soit considéré comme un manque de rigueur.

**Médiat** · 22/09/2009, 18h32

Envoyé par mimo13

A la Prochaine !

Non non non !

invite97a92052 · 22/09/2009, 18h41

Pour compléter ce que je disais, quand tu écris $\text{[math]}$ , c'est "stricto sensu" synonyme de :
1) poser $\text{[math]}$
2) calculer $\text{[math]}$

l'étape 1) n'as pas forcément de raison d'être comme tu l'as dit. Donc soit tu emploies une autre notation, soit tu autorises un abus de notation (ou tu ajoutes une définition complémentaire), dont tu peux pourquoi pas faire usage pour autre chose que des ensembles

invitea0db811c · 22/09/2009, 18h47

bonjour,

sinon pour en revenir au problème et éviter de rentrer dans une polémique assez stupide (le contexte prime avant tout pour les notation...)

As tu résolu l'exercice ?

invitebe08d051 · 22/09/2009, 18h48

Envoyé par g_h

Pour être logique avec toi-même et ton cours, tu ne dois même pas écrire $\text{[math]}$ !

Non je ne suis pas d'accord, même avec cette notation je suis tres logique avec mon cours, la preuve mon cours contient une partie intitulé image réciproque d'une partie.

Excuse moi, mais la confusion se fait entre l'image réciproque d'une partie et l'image réciproque d'un élément.

Je vous invite à lire le premier paragraphe de cet article Image réciproque et surtout les deux dernières lignes ( conseillé à ceux qui veulent devenir très rigoureux après cette discussion

)

Sur ce, Je souhaite clore la discussion à propos de l'image d'une partie et revenir à notre tres cher exercice !!

invite97a92052 · 22/09/2009, 19h03

Pour ton exo, tout est dans le post de Médiat

Les bijections réciproques recherchées sont :

Cliquez pour afficher

invitea0db811c · 22/09/2009, 19h04

La notation n'est pas ce qui prime dans une preuve... Du moment que le contexte permet sans ambiguïté de comprendre le sens, et là je suis navré mais je ne vois pas où pourrait être l'ambiguïté ici, c'est du chipottage qui n'apporte rien au cas présent !

Bon bref, sinon remarque que f est une application de E dans {0,1}.

et donc il te suffit de montrer que tu peux trouver un A dans E tel que Xa(x) = f(x) pour tout x dans E. C'est à dire f(x) = 1 sur A, et 0 sur le complémentaire de A... Et pour trouver le A c'est là qu'entre en jeu l'image réciproque de {1}, que tu peux bien noter comme bon te semble...

invitebe08d051 · 22/09/2009, 19h16

Un tres tres grand Merci à vous trois ( surtout a Mediat

)

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