Limite de suite et Somme de Série

[invite3c1ec679]

Bonsoir, j'ai un exo que j'ai pas su faire :
soit
Déterminer la limite de et la somme de la série de terme général
Merci de votre aide précieuse!
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[invite3c1ec679]

Personne n'a une idée?? Est-ce-que vous pouvez m'aider SVP?

[inviteaf1870ed]

Pour la limite, je dirais bien que 0<=cosⁿ(t)<=1
Donc 0<=Xn<=Int[sin(nt)]
Il est facile de montrer que cette dernière intégrale tend vers 0 quand n tend vers +inf

[inviteaf1870ed]

Pour la série, je considèrerais Yn = la même intégrale avec cos(nt) à la place de sin(nt)
Puis Yn+iXn
Puis interversion somme intégrale
Puis somme d'une série géométrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c1ec679]

On a sin(nt) n'est pas forcément positive! donc on ne peut pas encadrer de cette façon!

[invitea07f6506]

On a :




La première inégalité montre que la suite des fonctions intégrées tend simplement vers 0 (sauf en 0, mais ça n'a aucune importance). Elle sert aussi au passage à justifier l'interversion somme-intégrale.
La seconde inégalité montre que l'on peut utiliser le théorème de convergence dominée.

Pour le calcul de la série, j'appuie l'idée d'ericcc.

[invite3c1ec679]

Merci, pour le calcul de la limite j'ai réussi à le faire mais sans le théorème de la convergence dominée (on l'a pas encore étudier)!
Par contre pour le calcul de la série je trouve un problème, on a exp(int)cos(t)^n peut être égale à 1 puisque t varie de 1 à Pi/2! Bref j'arrive pas à trouver la nature de la série!

[invite624cb978]

moi je veux savoir pourquoi -2 -4 ...sont des zero de la fonction zeta de riemann

[invitea07f6506]

Tayebchlyah : excuse-moi pour ce que j'ai dit avant ; je n'ai pas assez réfléchi, l'interversion somme-intégrale ne marche évidemment pas. Mais il n'y en a pas besoin, en fait : par la même méthode, on peut connaître exactement les sommes partielles (on se retrouve avec un somme partielle de suite géométrique sous l'intégrale, et non une fonction hyperbolique, mais c'est tout). Il reste à voir ce que donne leur limite...

Il est en effet assez facile de montrer la convergence de vers 0, même sans le théorème de convergence dominée. En fait, en tant qu'exercice, on peut s'amuser à trouver une borne supérieure sur la vitesse de convergence (de mémoire, j'obtiens quelque chose en pour tout ).

Abdeljelil : question totalement hors contexte, et ne respectant pas le minimum de politesse... Et vous auriez pu faire un minimum de recherche, par exemple sur Wikipédia (je ne vais même pas m'embêter à filer le lien).

[inviteaf1870ed]

Tayebchlyah a raison : en faisant le calcul de la somme géométrique partielle, on se retrouve avec une intégrale qui diverge en zéro : sauf erreur de calcul (fréquentes hélas chez moi) j'arrive à

Integrale 0, pi/2 (1+cosⁿ⁺¹(t)/tan(t))dt

[invitea07f6506]

En faisant le calcul de la somme géométrique partielle, il n'y a aucune chance de tomber sur l'intégrale d'une fonction qui diverge en 0 : on ne fait que sommer des fonctions bornées en nombre fini... Je referai le calcul, pour voir.

[inviteaf1870ed]

Oui je m'étais gouré...mais je n'aboutis pas vraiement à une intégrale simplissime

Int o pi/2 cos(t)(1-cosⁿ(t)cos(nt))/sin(t) ??