Fractions rationnelle

[invite449d1948]

Bonjour,

J'ai un petit problème venant de BTS et suivant des cours de "remise à niveau" je n'ai pas bien encore assimilé les fractions rationnelles. J'ai un exercice à faire je pense bien avoir débuté mais je ne sais pas faire la suite.

Je dois decomposer en éléments simples sur R la fraction suivante :

4x²-4 / (x²-1)^4

Donc j'en ai déduit

A/(x²-1) + B/(x²-1)² + C/(x²-1)^3 + D/(x²-1)^4

Ai-je bien débuter que faut-il faire ensuite pour la consigne?

merci
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[invitea6f35777]

Bonjour,

Non, il faut d'abord factoriser le dénominateur:

Le critère pour savoir si le dénominateur est complètement factorisé est le suivant:
le dénominaeur de la fraction rationnelle doit être écrit comme le produit de polynômes de degrés 1, et de polynômes de degré 2 dont le discriminant est négatif.

Ici, le discriminant de est cela veut dire que a deux racines réelles, et et donc qu'il peut se factoriser sous la forme que j'ai donné au début.

La décomposition théorique est donc:

[invite449d1948]

Et donc c'est ce qu'on apelle la décomposition en élements simples ce que tu as fait?

[inviteaf1870ed]

Oui
Ici on peut quand même commencer par simplifier par x²-1 le numérateur et le dénominateur !

[A voir en vidéo sur Futura]