Résoudre équation de type y=ax²+bx+c

[leooo]

Salut,

Comment pourrais je mettre cette équation sous la forme x=f(y) ?

y = ax²+bx+c


Merci d'avance
a+
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[Quinto]

Ca n'est pas possible dans le cas général.
Notamment si a est non nul, ou alors pas sur R tout entier.
Par contre pour a non nul c'est possible et c'est même trivial si b non nul.
sinon b=f(y) dans le dernier cas.

[g_h]

Dans le cas général c'est possible seulement sur un intervalle restreint... sinon, tu pourras remarquer qu'une fonction polynôme de degré pair ne réalise pas de bijection de IR dans IR, mais une surjection de IR dans un intervalle inclus dans IR (qui a une borne réelle), et par conséquent tu ne peux pas trouver de fonction réciproque.

[Bobby]

Pour compléter g_h :

Cette fonction n'admet pas de réciproque, mais en décomposant en deux intervalles tu peux déterminer une application réciproque pour chaque intervalle.

Pour déterminer ces intervalles, rien de compliqué, il faut les choisir de manière à ce que ton trinôme - appelons le - soit bijectif.
Tu dois savoir que admet son maximum (resp. minimum) en si est négatif (resp. positif). Ensuite pour déterminer l'application réciproque, deux méthodes, avec le discriminant ou la forme canonique. Je ne détaillerai que celle utilisant la forme canonique, faute de ne pas avoir essayé l'autre.

Soient et





D'où :



Là vient l'intêret de s'être placé sur un intervalle particulier :



On choisit donc l'opposé de la racine carrée :



Finalement on obtient :

Si :



Si :



Ces deux fonctions ont le même ensemble de définition, celui-ci n'est autre que l'ensemble image de ta fonction de départ. Leur représentations graphiques se déduisent de celle de par la symétrie d'axe d'équation .

Un exemple pour la route :
, alors ses deux applications réciproques et sont définies par et

[A voir en vidéo sur Futura]