quotients de groupes

[taladris]

Bonjour,

j'aurais aimé étudier la proposition suivante: Soit G₁ et G₂ deux groupes et H₁ et H₂ deux sous-groupes normaux de G₁ et G₂ (respectivement). On suppose que le quotient de G₁ par H₁ est isomorphe au quotient de G₂ par H₂. Alors G₁xH₂ est isomorphe à G₂xH₁.

Je n'arrive pas à prouver cette assertion. D'ailleurs, je ne suis pas sûr qu'elle soit vraie (je pense qu'il faut des hypothèses supplémentaires comme l'existence de suites scindées) mais je ne trouve pas de contre-exemple.

Quelqu'un aurait-il une idée?
Merci d'avance.

Cordialement
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[invite642cafc1]

La proposition connaît au moins un contre-exemple :
G1=S3 un groupe des permutations de 3 éléments
G2=C6 un groupe cyclique d'ordre 6
H1 et H2 leur unique sous-groupe d'ordre 3.
Les quotients sont tous les des groupes d'ordre 2 donc isomorphes à C2 et entre eux.
Par contre S3xC2 n'est pas isomorphe à C6xC2 (un est abélien, l'autre non est un moyen rapide de s'en convaincre).

[taladris]

Merci pour l'exemple.

Un autre exemple qui montre que la proposition est aussi fausse dans le cas abélien:
G₁=Z
G₂=Z/2Z
H₁=2Z
H₂={0}
(Z=groupe additif des entiers naturels)

On a bien isomorphisme entre les quotients mais GxH n'est pas isomorphe à GxH (le second a un élément d'ordre 2 mais pas le premier).