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quotients de groupes



  1. #1
    taladris

    quotients de groupes


    ------

    Bonjour,

    j'aurais aimé étudier la proposition suivante: Soit G1 et G2 deux groupes et H1 et H2 deux sous-groupes normaux de G1 et G2 (respectivement). On suppose que le quotient de G1 par H1 est isomorphe au quotient de G2 par H2. Alors G1xH2 est isomorphe à G2xH1.

    Je n'arrive pas à prouver cette assertion. D'ailleurs, je ne suis pas sûr qu'elle soit vraie (je pense qu'il faut des hypothèses supplémentaires comme l'existence de suites scindées) mais je ne trouve pas de contre-exemple.

    Quelqu'un aurait-il une idée?
    Merci d'avance.

    Cordialement

    -----

  2. #2
    gyu

    Re : quotients de groupes

    La proposition connaît au moins un contre-exemple :
    G1=S3 un groupe des permutations de 3 éléments
    G2=C6 un groupe cyclique d'ordre 6
    H1 et H2 leur unique sous-groupe d'ordre 3.
    Les quotients sont tous les des groupes d'ordre 2 donc isomorphes à C2 et entre eux.
    Par contre S3xC2 n'est pas isomorphe à C6xC2 (un est abélien, l'autre non est un moyen rapide de s'en convaincre).

  3. #3
    taladris

    Re : quotients de groupes

    Merci pour l'exemple.

    Un autre exemple qui montre que la proposition est aussi fausse dans le cas abélien:
    G1=Z
    G2=Z/2Z
    H1=2Z
    H2={0}
    (Z=groupe additif des entiers naturels)

    On a bien isomorphisme entre les quotients mais GxH n'est pas isomorphe à GxH (le second a un élément d'ordre 2 mais pas le premier).

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