exercice Nombres complexes
Bonjour,
Lors d'une khôle de Maths, le professeur m'a posé cet exercice:
Soient a et b deux nombres complexes de module 1 tels que ab= -1, on pose z = (a+b)/(1+ab)
Démontrer que z appartient à R.
Je n'ai pas réussi à le démontrer n'ayant pas compris l'exercice (le fait que ab=-1 me dérange quelque peu) surement est-ce évident mais la subtilité m'échappe.
Merci par avance de votre aide pour éclairer ma lanterne.
La condition ab=-1 n'est pas nécessaire, je pense. Et tu as raison de dire que z n'est pas défini dans ce cas.
Essaie de le démontrer uniquement en supposant a et b de module 1.
Merci d'avoir répondu,
le problème c'est que je vois pas la marche à suivre. Comment ne pas prendre en compte le "1+ab" ?
J'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je ne vois pas ce qu'il faut faire dans l'ensemble.
Pour un khôle, elle me colle décidément beaucoup je trouve
Résouds l'exo suivant : soient a et b deux complexes de module 1, tels que ab est DIFFERENT de 1, montrer que a+b/1+ab est toujours réel.
Essaye toutes les écritures possibles pour les nombres complexes que tu connais. D'ailleurs, parmi elles, il y en a certainement une plus adaptée que les autres aux complexes de module 1, non ?Envoyé par Hyarion
Merci d'avoir répondu,
le problème c'est que je vois pas la marche à suivre. Comment ne pas prendre en compte le "1+ab" ?
J'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je ne vois pas ce qu'il faut faire dans l'ensemble.
Pour un khôle, elle me colle décidément beaucoup je trouve
Ok merci à tous deux,
Je vais essayé de me dépatouiller grâce à vos indications.
C'est vraiment heu ... complexes, les complexes
Juste pour faire suite, dois-je faire intervenir les tangentes ?
Merci d'avance.
Non.
Quelle expression choisis-tu pour tes complexes de module 1 ?
Je ne sais pas trop dans quoi je me suis embarqué, mais pour l'instant je faisais
pour : a>0 et b >0
ab<1
1>1/(1-ab)>0
1>a+b/(1-ab)>0
0<arctan a+b/(1-ab)<pi/4
j'esperais y voir plus clair, mais peut etre(surement) suis-je à 100 lieux de la réponse.
Higgins : Il n'y a même pas besoin de passer par une forme quelconque des complexes, c'est encore plus simple.
Par contre Hyarion les nombres complexes ne sont ni positifs ni négatifs, tu dis des horreurs !
Hint : un nombre réel est égal à son conjugué....
Après coup je me rends compte de l'ineptie de mes propos
Quand à : un nombre réel est égal à son conjugué, le savoir est une chose mais l'apliquer en est une autre ... habitué à des maths appliqué je suis un peu (beaucoup) perdu sans i ou j (physique).
Je vais faire le gars qui insiste en disant qu'on peut y arriver en posant
Cependant, j'avoue que montrer que le nombre que l'on cherche est égal à son conjugué est plus élégant.
Décidement je suis vraiment pommé avec ces complexes, je fais appelle à votre générosité pour me faire un petit topo (que je puisse me garder comme référence) afin que je ne sois pas pris au dépourvu le jour ou je tombe dessus.
Merci par avance.
calcule z/zbarre et montre que c'est égal à 1 (tu utiliseras le fait que a et b sont de module 1, c'est à dire que a*abarre=b*bbarre=1)
J'en serais bien incapable.
Par contre tu peux quand même au moins essayer la méthode avec les exponentielles complexes :
et tu recherches un terme à mettre en facteur du numértauer et du dénominateur qui te permettra de montrer que cette fraction est réelle (quand ab différent de -1).
Quand même (je note abarre a*) :
(a+b)/(1+ab) * (1+a*b*)/(a*+b*)=(a+b+aa*b*+ba*b*)/(a*+b*+aa*b+abb*)=(a+b+a*+b*)/(a+b+a*+b*)=1
EN n'oubliant pas que aa*=1 par définition
Merci à tous deux pour vos explications claires et détaillés.
J'ai enfin mieux compris les complexes.
