[Exercice] Application des nombres complexes

[invite9f14624f]

Bonjour à toutes et à tous,

Je planche actuellement sur mon DM de Maths mais je sèche sur 2 questions d'un exo, si quelqu'un pouvait me filer un coup de main, cela me débloquerait et me permettrait d'avance !

Donc, voici l'énoncé dans lequel j'inclus mes réponses au fur et à me mesure :

(O; u; v) est un repère orthonormal du plan complexe P. A et B sont les points d'affixes respectives 1 et -1.
f est l'application de P - {A} dans P qui, à tout point M d'affixe z, disctint de A, associe le point M' = f(M) d'affixe .

a) Quelle est l'image du point O par f ?
Ma réponse : O est le nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont nulle : O = 0 + 0i = 0


L'image de O par f est donc lui-même.

b) C est le cercle de centre O et de rayon 1. Démontrer que M appartient à C équivaut à f(M) = B.
Ma réponse : Là je sèche un peu ! Il faut démontrer que f(M) = B, cela revient à démontrer que f(B) = M ?!
J'ai donc répondu ceci, avec un gros point d'interrogation :
et là problème forcément puisque diviser par zéro, c'est pas top...

Besoin d'aide sur cette question donc SVP.

c) Déterminer l'ensemble des points invariants par f.
Ma réponse : pour moi il s'agit des points M d'affixe z qui vérifient f(M) = M, ai-je raison ?
Cela reviendrait alors à
J'ai donc essayé de résoudre cette équation mais sans succès :


Mais après ?...

Merci pour vos coups de pouce par avance,
Cordialement,
NesheK.
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[invitedde4a60c]

Bonjour à toutes et à tous,

Je planche actuellement sur mon DM de Maths mais je sèche sur 2 questions d'un exo, si quelqu'un pouvait me filer un coup de main, cela me débloquerait et me permettrait d'avance !

Donc, voici l'énoncé dans lequel j'inclus mes réponses au fur et à me mesure :

(O; u; v) est un repère orthonormal du plan complexe P. A et B sont les points d'affixes respectives 1 et -1.
f est l'application de P - {A} dans P qui, à tout point M d'affixe z, disctint de A, associe le point M' = f(M) d'affixe .

a) Quelle est l'image du point O par f ?
Ma réponse : O est le nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont nulle : O = 0 + 0i = 0


L'image de O par f est donc lui-même.

b) C est le cercle de centre O et de rayon 1. Démontrer que M appartient à C équivaut à f(M) = B.
Ma réponse : Là je sèche un peu ! Il faut démontrer que f(M) = B, cela revient à démontrer que f(B) = M ?!
J'ai donc répondu ceci, avec un gros point d'interrogation :
et là problème forcément puisque diviser par zéro, c'est pas top...

Besoin d'aide sur cette question donc SVP.

c) Déterminer l'ensemble des points invariants par f.
Ma réponse : pour moi il s'agit des points M d'affixe z qui vérifient f(M) = M, ai-je raison ?
Cela reviendrait alors à
J'ai donc essayé de résoudre cette équation mais sans succès :


Mais après ?...

Merci pour vos coups de pouce par avance,
Cordialement,
NesheK.

Essayes en posant z=x+iy ( je ne sais pas du tout si ça va t'aider^^)

[invite9f14624f]

Salut ! Merci d'avoir pris la peine de répondre !

Donc si je pose alors je dois poser enfin il me semble...

Si je reprends là ou je m'étais arrêter :



... et là c'est pareil je coince...

La qeustion est : quelle est la méthode pour résoudre une équation fractionnaire à une inconnue ? Pour ma part, cette équation est la suivante :

[Arkangelsk]

Bonjour,

La qeustion est : quelle est la méthode pour résoudre une équation fractionnaire à une inconnue ? Pour ma part, cette équation est la suivante :

Je réponds seulement à cette question. J'ai lu le reste en diagonale pour le moment. La méthode (enfin, une méthode possible) consiste à remplacer par et son conjugué par pour arriver à une équation tu type . Alors, il te suffit de poser ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9f14624f]

Merci ! Je vais explorer cette piste !

Cependant, je viens d'entrevoir une autre méthode qui semble fonctionner en considérant que ce qui est est vrai puisque nos nombres A et B sont des réels purs... Dites-moi si je me trompe !

Voici le raisonnement, mais celui-ci ne parvient pas à trouver un ensemble de solutions, ou du moins je ne vois pas comment :


Si alors -1 n'est pas solution de l'équation puise le dénominateur serait 0.

[Arkangelsk]

Merci ! Je vais explorer cette piste !

Cependant, je viens d'entrevoir une autre méthode qui semble fonctionner en considérant que ce qui est est vrai puisque nos nombres A et B sont des réels purs... Dites-moi si je me trompe !

Petite remarque liminaire : "un réel pur" ne veut rien dire ! Un nombre complexe peut être un réel (donc sa partie imaginaire est nulle) ou un imaginaire pur (donc sa partie réelle est nulle). Mais, il n'y a pas de "réel pur".

Je ne comprends absolument pas pourquoi tu décides de poser . est un complexe quelconque différent de . Je ne vois pas le rapport avec et , qui sont des points définis.

Poser équivaut à poser soit . Tous les imaginaires purs conviennent et non pas les réels !

[invite9f14624f]

J'ai suivi tes conseils et je crois que ce n'est pas très concluant... Je te laisse regarder !










Merci !

[Arkangelsk]

J'ai suivi tes conseils et je crois que ce n'est pas très concluant... Je te laisse regarder !










Merci !

Bon, ce n'est pas très lisible tout ça, je n'ai pas le courage de lire . On va procéder par étape.

1. Sépare les parties réelle et imaginaire de .

[invite9f14624f]

Oui tu as raison ! Merci pour ta patience !

Donc voilà comment j'ai fait pour tenter de séparer la partie réelle de la partie imaginaire de :





Donc et . Est-ce bien cela ?

[inviteec9de84d]

Salut,
pour la question 2) :
tu dois montrer que

Soit z l'affixe de M, alors il s'agit de montrer que cela revient à :


Tu pars donc de cette équation (il s'agit d'une équivalence, le sens importe peu) :





En posant z = x+iy avec x et y réels, tu obtiens :

Donc f(M) est sur le cercle de centre O et de rayon 1

Ton raisonnement était faux, car f(M) = B n'est bien évidemment pas équivalent à f(B) = M (la transformation est bien bijective mais la bijection réciproque n'est pas f).

[inviteec9de84d]

Pour la question 3, voilà un raisonnement beaucoup plus simple :
Montrer que


(ok, tu dois bien partir de là). Soit :



(tu développes et zz* se simplifient).

Tu cherches donc les points M tels que z* = z. Pose z=x+iy


On en déduit que y=0 (c'est le seul réel égal à son opposé )
On n'a pas de condition sur x, donc M est sur l'axe des réels.

[Arkangelsk]

On va reprendre point par point.

Voila comment j'ai lu ton post.

Donc et . Est-ce bien cela ?

Hélas, cela ne peut pas être bon. La partie imaginaire ne doit pas contenir . Quand on a un complexe , la partie réelle est et la partie imaginaire est (et non ).

Mais hormis cette erreur, le calcul est peut-être bon...

Donc voilà comment j'ai fait pour tenter de séparer la partie réelle de la partie imaginaire de :





Donc et . Est-ce bien cela ?

Tu as développé complètement le produit. Soit, j'y reviendrai par la suite. Le problème, c'est qu'il devrait y avoir 3x2= termes, alors que dans ton calcul, tu n'en as que . Effectivement, tu as oublié le terme :

Donc voilà comment j'ai fait pour tenter de séparer la partie réelle de la partie imaginaire de :



++

Donc et . Est-ce bien cela ?

Maintenant c'est bon.

Un conseil pour le développement : ne développe pas tous tes facteurs.

Tu as .

Tu ranges bien tout de manière à obtenir un produit de la forme .

Donc, tu obtiens .

Jusque là, rien d'extraordinaire .

Tu regardes ton produit.

Tu sais que le produit de deux réels va te donner un réel et que le produit de deux imaginaires purs te donnera un réel également.

Donc, la partie réelle de sera . En remplaçant, tu as , , et .

La partie réelle recherchée est donc .

En raisonnant de même pour la partie imaginaire, on a bien .

Cette méthode permet de sommer uniquement produits et évite bien des erreurs de calcul.

[invite890931c6]

Salut, je ne sais pas ou tu en es mais on peut faire comme ça :



équivalent à




soit l'ensemble des nombres réels.

[invite9f14624f]

Merci pour votre aide à tous ! J'ai compris mes erreurs ainsi que le principe, j'y ai passé le temps !

Cela dit, j'ai encore quelques questions (oui, désolé ) pour Lapin Savant qui a dit deux choses que je n'ai pas bien compris :
- "On en déduit que y=0 (c'est le seul réel égal à son opposé )
On n'a pas de condition sur x, donc M est sur l'axe des réels."
-> qu'entends-tu par "condition sur x" ?

- "Ton raisonnement était faux, car f(M) = B n'est bien évidemment pas équivalent à f(B) = M (la transformation est bien bijective mais la bijection réciproque n'est pas f)."
-> Qu'est-ce qu'un bijection ?

@Arkangelsk : Merci pour toutes ces longues explications et pour le tuyau permettant de séparer "facilement" enfin plus rapidement Re de Im !

Merci encore,
Bonne soirée,
NesheK.

[invite9f14624f]

Question suivante

d) Démontrer que, pour tout z de C - {1}, |z| = |z'|.
Ma réponse : Notre fonctionf associe à tout point M distinct de A (Affixe de A : 1) le point M' = f(M), avec la fonction f étudiée précédemment. Cela justifie que l'étude se situe dans C - {1}.

En c) nous avons démontré que les points invariants étaient ceux répondant à la condition suivante : z = z' et nous avons déterminé que . Or , par conséquent .

Cette réponse est-elle suffisante ?

[inviteec9de84d]

Re-salut,
alors en premier je répondrais à tes deux questions :
1) J'entends par "on n'a pas de condition sur x" que lors du développement, la partie réelle de z a été simplifiée dans les équations. Par conséquent, le résultat trouvé est vrai pour tout x réel (c'est ainsi que tu obtiens la droite réelle comme résultat). Par opposition à y (condition : y=-y).

2) Désolé d'avoir parlé de bijection, le terme m'a échappé Il s'agit, en gros, d'une fonction qui à chaque point associe une et une seule image : on peut donc définir sa réciproque, par : bijection réciproque de f alors .
Ici, cela aurait donné : B = f(M) et .


Enfin, pour ta nouvelle question, non ce n'est pas suffisant (désolé) : tu ne montres le résultat QUE pour les points invariants (car tu utilises y=-y). Je ne te donne pas la réponses tout de suite, mais le départ :

et pense aux propriétés du module de z et son conjugué (est-ce le même ?)

[Arkangelsk]

On n'a pas de condition sur x, donc M est sur l'axe des réels.

On a quand même la condition , donc .

1) J'entends par "on n'a pas de condition sur x" que lors du développement, la partie réelle de z a été simplifiée dans les équations. Par conséquent, le résultat trouvé est vrai pour tout x réel (c'est ainsi que tu obtiens la droite réelle comme résultat). Par opposition à y (condition : y=-y).

Et donc, on obtient la droite réelle privée de .

[inviteec9de84d]

Exact, ça m'avait échappé, merci pour la correction

[invite9f14624f]

Merci pour les explications ! La définition savante de la bijection, je vais oublié pour le moment... mais merci !

tu ne montres le résultat QUE pour les points invariants (car tu utilises y=-y). Je ne te donne pas la réponses tout de suite, mais le départ :

et pense aux propriétés du module de z et son conjugué (est-ce le même ?)

Oui zut, je n'avais pas pensé que y=-y ne fonctionnait que pour les points invariants ! Merci pour la piste, je vais essayer de developper ça et de voir à quoi j'arrive... je reviendrai poster pour vous proposer ma réponse !

Juste une question, est-ce de ces propriétés dont tu parles :

Si x est un réel, le module de x est égal à la valeur absolue de x.
lzl=0 si et seulement z=0 ( car OM=0 équivaut à O=M)

?

Merci !

[inviteec9de84d]

Et bien c'est un très bon exemple de ce à quoi je pensais ! Alors, que signifie pour toi le conjugué de z ? Quelle est la conséquence en terme de module ?

Pour que |z||z*|=|z|², que vaut donc |z*| ?

Ensuite, débrouilles-toi pour dire des choses sur |z-1| et |z*-1| (ne seraient-ils pas égaux, à tout hasard.......).

[invite9f14624f]

Oui justement, c'est ce que j'étais en train de me dire ! Si |z||z*| = |z|² alors en valeur absolue |z| = |z*|...

Bon je vais fouiller tout ça, merci pour le tuyau... A très vite pour d'autres questions !

Grand merci !

[invite9f14624f]

Voilà ce que j'ai déduis de cette propriété : zz*=|z²|

Ma réponse :

Démontrons que |z| = |z'|.
D'après cette propriété sur les modules , d'où .

Dans notre expression , nous pouvons donc la simplifier comme suit :
et d'où .

[invite9f14624f]

Pour la question 3, voilà un raisonnement beaucoup plus simple :
Montrer que


(ok, tu dois bien partir de là). Soit :



(tu développes et zz* se simplifient).

Tu cherches donc les points M tels que z* = z. Pose z=x+iy


On en déduit que y=0 (c'est le seul réel égal à son opposé )
On n'a pas de condition sur x, donc M est sur l'axe des réels.

Ne devrais-je pas avoir une solution qui me permettrait d'affirmer que les invariants sont tous les points de l'axe des réels ?

[invite9f14624f]

C'est bon, je me suis enfin dépatouillé de cet exercice, ce qui n'aurait pas été possible sans votre aide précieuse ! Merci à tous !

Une dernière question, dans le cadre d'un autre exercice, mais je ne vais pas créer un autre topic pour ça... dîtes-moi si je me trompe.

Voilà, je dois démontrer que pour tout réel x strictement positif donc sur :



Je pense que c'est une histoire de limite en 0 et en mais toutes mes tentatives pour lever l'indétermination lors du calcul de la limite du membre central ont été vaines... Il doit y avoir une petite astuce que je ne saisis pas !

Si quelqu'un peut m'aider (encore une fois... ), je le remercie par avance,
Bonne journée tout le monde,
NesheK.

[inviteec9de84d]

Dans notre expression , nous pouvons donc la simplifier comme suit :

Bon..........presque ok
Attention ! tu dois montrer ce que tu affirmes (même si ça prend une ligne) : avec z=x+iy
|z-1|² = (x-1)²+y²
|z*-1|² = (x-1)²+y² = |z-1|² donc |z-1| = |z*-1| (le module est positif).

Ensuite ok pour la simplification et bien évidemment |z*|=|z| (la conjugaison ne change que l'argument du nombre complexe, le module est inchangé).

[inviteec9de84d]

Ne devrais-je pas avoir une solution qui me permettrait d'affirmer que les invariants sont tous les points de l'axe des réels ?

La solution c'est de prendre une autre transformation qui fonctionne sur C tout entier.
Ici, la transformée est définie sur C-{1} donc tu n'obtiendras jamais la droite réelle complète. Comme dit qq posts au-dessus, la solution est la droite réelle privée de 1 (tu ne peux pas faire mieux).

[inviteec9de84d]

Pour ton nouveau problème, non le passage à la limite ne prouvera rien d'autre que le terme central tend vers -1/2 en 0, et puis à l'infini ben y a rien à dire....
Il faut procéder par étapes : tu montres les inégalités 1 par 1 c'est plus simple.
Par exemple, pour montrer que :


tu peux partir de l'inégalité, vraie :


Ensuite pense à une factorisation du terme de gauche, pour pouvoir ramener tout ça à la dérivée de ce que tu dois montrer, ensuite tu intègres.

Normalement, tu arrives à monter la 2ème inégalité avec le même principe (le départ est bien évidemment différent ).

[inviteec9de84d]

Deuxième inégalité :
Même si ça fait carrément artificel, tu peux partir de


en remarquant que

tu t'en sors sans douleurs.

[invite9f14624f]

La solution c'est de prendre une autre transformation qui fonctionne sur C tout entier.
Ici, la transformée est définie sur C-{1} donc tu n'obtiendras jamais la droite réelle complète. Comme dit qq posts au-dessus, la solution est la droite réelle privée de 1 (tu ne peux pas faire mieux).

D'accord mais moi j'ai abouti sur y=-y, est-ce une droite ? Car comme dit plus haut, le seul réel égal à son opposé c'est 0... enfin il me semble...

Pour ce qui est de mon inégalité, merci pour cette piste, il va falloir que j'appronfondisse cela parce que là je rame dur ! Je revois ça demain (il est tard chez moi : 22h43) et je te tiens au courant !

Merci !

[inviteec9de84d]

Tu as développé un raisonnement pour trouver un ensemble de points M, représentés par z=x+iy dans le plan complexe.
Dans ce raisonnement, tu y as établi que pour les point invariants par la transformation f, définie sur C-{1} (autrement dit, avec nos notations, x différent de 1), y=-y, soit y=0.

Donc les points invariants par f ont pour affixe z=x (puisque leur partie imaginaire est nulle), pour tout x différent de 1.
Ces points sont donc tous les réels sauf 1.


Voilà j'espère que tout est clair maintenant