Bonjout à tous,
J'ai un petit soucis de compréhension à propos des espaces vectoriels quotients. J'en ai lu une définition dans mon cours, mais à vrai dire j'ai du mal à la saisir pleinement...
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Merci d'avance
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour,
je crois qu'il serait bon que tu regardes un certain nombre d'exemples pour saisir au mieux l'intérêt des structures "quotients". Je remercie d'avance ceux qui donneront une autre réponse que la mienne, étant moins convaincu de sa validité que de la diversité des points de vue possibles. Je ne répondrais que pour le cas de la dimension finie:
si E est un espace vectoriel de dimension finie, et si F en est un sous-espace, alors tous les supplémentaires de F sont isomorphes à E/F (donc entre eux) muni de sa structure d'espace vectoriel quotient. C'est en quelque sorte un modèle "canonique" des supplémentaires de F, car sa construction ne fait pas intervenir de base adaptée à F, mais seulement F.
Je te conseille de ne pas trop t'attarder sur cette notion pour l'instant, que tu retrouveras quand tu étudieras les modules sur un anneau, où elle trouve un intérêt autrement plus évident que pour les espaces vectoriels de dimension finie.
idest
Y a-t-il unicité de E/F ?si E est un espace vectoriel de dimension finie, et si F en est un sous-espace, alors tous les supplémentaires de F sont isomorphes à E/F (donc entre eux) muni de sa structure d'espace vectoriel quotient.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Forcément. E/F c'est l'ensemble des classes d'équivalence. C'est toujours vrai quand on quotiente par une relation d'équivalence.Envoyé par Phys2
Je n'ai jamais entendu parler des classes d'équivalence. Qu'est-ce ?Forcément. E/F c'est l'ensemble des classes d'équivalence. C'est toujours vrai quand on quotiente par une relation d'équivalence.
If your method does not solve the problem, change the problem.
tu as un cours sur les espace vectoriels quotients alors que tu ne connais pas les relations d'équivalence? Il est bizarre ton cours.
Ce n'est pas réellement un cours sur les espaces vectoriels quotients, disons qu'il en parle pour la curiosité de l'étudiant, sans utiliser de vocabulaire autre que celui-ci utilisé dans le reste du cours sur les espaces vectoriels.tu as un cours sur les espace vectoriels quotients alors que tu ne connais pas les relations d'équivalence? Il est bizarre ton cours.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour !
En gros une relation d'équivalence, c'est une relation qui lie certains objets mathématiques (nombres, matrices etc...).
Si deux objets sont en relation (par cette fameuse relation d'équivalence), on dit qu'ils sont équivalents et dans ce cas, ils appartiennent à une même classe d'équivalence.
Maintenant, on peut quotienter un espace par une relation d'équivalence, l'espace obtenu est l'ensemble de ces classes d'équivalence.
Un exemple tout bête :
On se place dans E l'ensemble des fonctions.
On donne la relation d'équivalence suivante : f équivaut à g (qu'on notera fRg où R est ma relation d'équivalence) <=> f(x)=g(x) pour x négatif (bon j'ai la flemme de vérifier que c'est bien une relation d'équivalence, mais on s'en fiche c'est pour l'exemple).
On vérifie que c'est une relation d'équivalence.
On peut considérer l'ensemble quotient qui sera : E/R.
Dans cet espace, la fonction f(x)=|x| et la fonction g(x)=-x sont "la même fonction", en gros elles ont le même représentant.
Bon après, je parle d'ensemble mais tu peux parler de groupes, d'anneaux, d'espaces vectoriels etc...
Dans ce cas, tu dois définir une structure sur ton ensemble quotient pour qu'il te plaise...
Enfin voilà en gros c'est ça !
Tu vas me dire, quand tu écris E/F, F n'est pas une relation d'équivalence !
Eh bien si, c'est juste une relation d'appartenance. Cherche un peu, tu trouveras plus d'infos !
Merci pour ces éclairements
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