Bonjour ! Alors voilà, je suis en prépa intégré, deuxième année, et mon professeur de math en équa diff nous a posé un exercice facultatif très difficile. J'ai envie de le faire mais je bloque à un moment. Le professeur a dit qu'il fallait une astuce, mais je ne trouve pas laquelle, et j'aimerais bien savoir comment faire...

Voilà le sujet (désolé pour l'écriture non-latex je ne maîtrise pas =S:

Soit un repère (O, i,j). M (X,Y) appartient aux courbes représentatives des fonctions f telles que Y=f(X).
Déterminer l'équation différentiel des courbes telles que si P est le points d'intersection de la tangente en M avec l'axe Ox, on ait
OP = MP

indications :
a) écrire l'équation de la tangente en M
b) en déduire P (a,0)
c) Calculer MP



Alors voici ce que j'ai fait :

Tm : y-Y = Y'(x-X)
P-> -Y = Y'(a-X)
On veut OP=PM donc :
a=rac[(X-a)²+Y²]
<=> -Y/Y' + X = rac[Y²/Y'² + Y²]
<=> -Y²/Y'² + X² - 2XY/Y' = Y²/Y'² + Y²
<=> -2Y²/Y'² + X² - 2 XY/Y' - Y² = 0
<=> (2Y² + 2XYY')/Y'² + Y² - X² = 0
<=> Y'²(X² - Y²) - 2Y'(XY) + 2Y² = 0


Et ensuite j'ai continué un peu comme ça, mais ça ne sert à rien de bidouiller comme ça mon avis. Je me retrouve coincé avec un Y'² et un Y'... =S

Quelqu'un aurait-il cette petite astuce pour avancer d'avantage?
Merci