Bonjour à tous,
Je me permets de faire appel à votre aide car je me casse les dents sur le début d'un exercice.
L'énoncé est le suivant :
f : ] -1 ; + [ -> R
x -> ln(1+x)
1. Montrer que f est de classe Cinfinie sur son intervalle de définition et que pour tout n appartenant à N , f(n)(0)= (-1)(n-1)(n-1)!
2. En déduire le développement de Taylor-Lagrange de f à l'ordre n.
3. Montrer que la suite réelle (Un) définie par :
Un = (somme de (-1)k-1/k) = 1 - 1/2 + 1/3 + ... + (-1)n-1 / n
converge vers ln(2).
Montrer que f est de classe C n'est pas vraiment compliqué.
Cependant, montrer la relation me pose plus de problèmes. J'imagine qu'il faut raisonner par récurrence, mais je ne vois pas comment retomber sur mes pattes car j'étudie f(n)(x)= (-1)n-1/(1+x)n.
J'arrive jusqu'à (f(n)(x))' = (-1)n-1*n / (1+x)n+1 càd n/(1+x) * f(n)(x) .. mais ça ne m'aide pas vraiment.
Pour la question 2, le développement de Taylor-Lagrange de ln(1+x) est plutôt bien connu donc je devrais m'en sortir..
La question 3 m'effraie déjà plus, dois-je raisonner à nouveau par récurrence ? Je ne vois pas ce que vient faire le ln(2) en limite de cette suite..
Merci d'avance,
Sneb.
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Envoyé par Sneb 
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