Intérieur, adhérence.

[invite12958d92]

Bonjour,

Je suis un peu nouveau par ici alors je viens poser ma petite question.
En fait je suis dans un espace vectoriel normé.
Je dois montrer que l'intérieur d'une boule fermée est la boule ouverte et que l'adhérence de la boule ouverte est la boule fermée.
Je raisonne par double inclusion (je n'ai pas vu le suites tout ça donc j'ai besoin d'une démonstration sans). J'ai presque réussi mis à part deux petits points :

Je prends donc un y dans l'intérieur de la boule fermée Bf(x,R) et je veux montrer qu'il est dans la boule ouverte. Comment faire? (ici je n'arrive pas à formaliser les choses)

Idem pour l'autre cas je prends y dans Bf(x,R) et je veux montrer qu'il est dans l'adhérence de la boule ouverte. Comment faire? (ici je n'arrive même pas à voir les choses)

Merci d'avance de votre aide.
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[invite769a1844]

Salut,

tu peux faire un dessin pour mieux voir la situation. Dans les deux cas, avec les y que tu as cités, essaies d'utiliser des points qui sont sur la droite (Oy).

[invite12958d92]

Ha mais mon problème n'est pas de visualiser les choses je vois dans les deux cas les choses seulement(les dessins c'est pas mathématique comme démonstration ^^ c'est mon problème^^)c'est pour ça que j'aurais besoin d'aide pour formaliser ce que je pense avec les dessins ... et je ne sais pas comment faire ? Peux-tu m'aider me donner des pistes au moins ?

Merci d'avance pour l'aide.

[thepasboss]

Bonsoir,

Alors pour la première question, sert toi juste de la définition de la boule fermée. Tu prend X dans l'intérieur, alors |X| est inférieur ou égal à 1 (je fais le cas de la boule unité, le reste revient au même). Après regarde ce qui se passe si |X|=1, le vecteur peut-il être dans l'intérieur ? Quelle conclusion en tire tu sur l'endroit où doit se trouver X si il est dans l'intérieur ?

Pour le deuxième au pire, raisonne par l'absurde. C'est à dire suppose qu'il existe un Fermé contenant la boule ouverte et qui soit inclu strictement dans la boule fermé, puis cherche une contradiction (avec les vecteur de norme 1 par exemple ^^).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite12958d92]

oui mais pour la première c'est ça qu eje fais depuis déjà plusieurs jours je sais que si j'ai ce que tu dis se sera sur le bord et je pourrai pas prendre de boule ouverte en ce point etc ... mais comment le dire formellement parce que je ne pense pas que de dire "il est sur le bord suffise" ^^ ??

Euh je viens d'écrire ce que ça donne pour le deuxième et je pige pas trop ce que tu veux me dire ?? Comment j'en arrive à l'adhérence?

Peux-tu me donner encore un coup de main ?

Merci d'avance.

[invite58633955]

oui mais pour la première c'est ça qu eje fais depuis déjà plusieurs jours je sais que si j'ai ce que tu dis se sera sur le bord et je pourrai pas prendre de boule ouverte en ce point etc ... mais comment le dire formellement parce que je ne pense pas que de dire "il est sur le bord suffise" ^^ ??

Euh je viens d'écrire ce que ça donne pour le deuxième et je pige pas trop ce que tu veux me dire ?? Comment j'en arrive à l'adhérence?

Peux-tu me donner encore un coup de main ?

Merci d'avance.

Pour montrer qu'un point sur le "bord" (il faudrait plutot dire frontière, ce qui n'est aps tout a fait pareil que bord m'enfin) n'est pas dans l'intérieur reviens à la définition.

Prend x tel que |x|=1, si tu prends une boule de rayon a>0 centré en x, alors (1+a/2)x est dans cette boule mais pas dans la boule unité. Donc x n'est pas dans l'intérieur.

[invite12958d92]

ha oui d'accord je crois que je vois je vais appliquer ça à ma question !! Merci beaucoup aurais-tu une idée pour ma deuxième question et l'adhérence ?

Merci d'avance.

[invite58633955]

Pour montré que l'adhérence de la boule ouvert est la boule fermée? Je le fais avec la boule unité tu adapteras pour une boule quelconque (ou alors si tu es savant tu conclueras par le fait que les translations et homoteties sont des homéomorphismes)

Si tu prend un fermé F qui contient la boule ouvert, prend x de norme 1, s'il n'est pas dans F alors il existe une boule de rayon a>0, qui n'est pas dans F, dans cette boule il y a des elements dans la boule unité.

[invite12958d92]

et donc x serait un point adhérent et donc forcément dans l'adhérence ?
Je ne sais pas si ej vois bien ce que tu veux autant jai vu pour le premier cas autant là c'est encore flou ?

Peux-tu me l'éclaircir ?

Merci d'avance.

[thepasboss]

indice : le complémentaire d'un fermé est un ouvert...

[invite12958d92]

Ha mais alors là je suis encore plus perdu qu'avant ....qu'est ce qu'il veut dire ton indice ? ^^ Quelqu'un peut-il m'éclairer ?

Merci d'avance .

[thepasboss]

Si F est un fermé contenant la boule ouverte mais ne contenant pas la boule unité fermée, alors il existe x de norme 1 dans le complémentaire de F. Hors le complémentaire de F est un ouvert (car F est fermé), donc comme x est dans le complémentaire de F, il existe une boule ouverte A de rayon r centré en x tel que cette petite boule A soit incluse dans le complémentaire de F. De là relis le poste de therodre et conclu ^^

[invite12958d92]

Alors là le fait que ce soit dans deux posts différents je ne comprends plus rien du tout ... Est ce que se serait possible de tout me rassembler en un post un peu plus clairement parce que j'ai éssayé de tout réécrire et je suis vraiment perdu dans toutes les boules ...

Merci vraiment beaucoup d'avance.

[invite12958d92]

Je peux encore avoir un peu d'aide s'il vous plait ??

Merci d'avance

[invite12958d92]

Plus personne pour m'aider??

J'ai encore un besoin.