fonction composée avec arc

[invitefb2b2b24]

question bête peut etre mais lorsque on a une fonction de la forme arcsin(cos(arcsin(x))) est-elle simplifiable???
y-a-t-il une formule peut être plus générale sur vouov?
merci
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[NicoEnac]

Bonjour,

cos²(x)+sin²(x) = 1 => cos(x) = +/- racine(1-sin²(x) )
=> cos(arcsin(x)) = +/- racine(1-x²) pour x entre -pi/2 et pi/2
=> arcsin(cos(arcsin(x))) = arcsin(+/- racine(1-x²)) pour x entre -pi/2 et pi/2

[NicoEnac]

Rebonjour,

Il y a même une solution plus "présentable" :

y = arcsin(cos(arcsin(x)))
=> sin(y) = cos(arcsin(x))

En posant X = arcsin(x) on obtient que sin(y) = cos(X)

En faisant le dessin sur le cercle trigonométrique, on s'aperçoit que les solutions de cette équation sont : y = pi/2 + X ou y = pi/2 - X
Sachant que X = arcsin(x), on obtient que y = pi/2 + arcsin(x) (1) ou y = pi/2 - arcsin(x) (2).

J'ai vérifié, la (1) est valable pour x<=0 et la (2) pour x>=0 (il manque un argument pour justifier cela cependant les relations sont justes).

[invitefb2b2b24]

merci je n'avais pas pensé a la formule avec les carrés
cela va me faciliter la résolution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

je n'avais pas pensé a la formule avec les carrés.

La deuxième méthode est plus propre et plus astucieuse. De plus, la forme trouvée est bien plus simple !