Exercice Arctan

[invitee93ed471]

Bonjour à tous, j'ai un problème d'exercice.

Voici l'énoncé: "On pose f(x)=Arctan(2x/(1+x²)). Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Etudier le domaine de définition de la fonction f

Donc je commence par dire que Arctan est définie sur [-1;1], et de plus x appartient à R.
Ensuite je fais ce qu'on appelle la restriction du domaine de définition.
Arctan(..) n'est ni pair ni impair et elle n'est ni périodique à moins que je me trompe.
Donc Df=R

2. Justifier que pour tout réel x,il existe un unique réel Théta de )]-pie/2;pie/2[ tel que x=tan(Theta)

Alors je commence par dire qu'il y a bijection donc qu'il n'y peut y avoir qu'un seul x tel que x=tan(Theta).

Si ce n'est pas sa j'ai cherché à développer tan(Theta) dans f(x).

3. Soit Théta un réel de ]-pie/2;pie/2[. Simplifier, selon les valeurs de Théta, l'expression de Arccos(sin2Théta).

Là je bloque, je voulais faire un changement de variable mais je sais pas comment...

4. En déduire une expression simple de f(x) en fonction de x. On détaillera la démarche.

Je pensais factoriser par x mais il y a trop de fraction et par conséquent je ne pense pas que ce soit sa.

Si quelqu'un pouvait m'aider sa serait gentil!

Merci d'avance
-----

[KerLannais]

Salut,

Est-ce la première fois que tu entends parler de la fonction arctan? Je te rappelle que c'est une fonction, qui contrairement aux fonctions arccos et arcsin est définie sur tout entier et non pas et que tout comme la fonction arcsin, c'est une fonction qui est impaire. La fonction f est définie sur tout entier puisque le dénominateur de la fraction à l'intérieur de la fonction arctan ne peut pas s'annuler (et parce que arctan est définie sur tout entier). On peut restreindre le domaine de définition étant donné que f est impaire, on peut travailler sur . En effet:

(puisque la fonction arctan est impaire)
Alors effectivement la fonction arctan est une bijection de sur et donc cela suffit à justifier l'existence et l'unicité du .

Pour la question 3 on peut utiliser la formule de trigonométrique ultra-classique (c-à-d à connaître):

qui est une simple conséquence de la formule pour .

je ne vois pas en quoi on peut déduire le résultat de la question 4 à partir de la question 3, d'ailleurs je ne vois pas comment faire la question 4, est-tu sûr de la définition de f, ne serait-ce pas plutôt

parce que dans ce cas la ça change tout