Volume d'une perle

[Sylvestre]

Cependant, celà ne change rien au fait que l'on ne peut exprimer le volume de la perle en fonction seulement de d la hauteur puisque à un même d correspondent une infinité de perles différentes (Rayons différents correspondant chacun à un diamètre de perçage), ces perles ayant toutes de volumes différents....car dans l'expression que j'ai trouvé pour le volume, avec la notation H pour la hauteur du trou, on ne peut à priori simplifier pour éliminer à la fois le paramètre R et le paramètre d diamètre du trou.

Ok, je crois que je n'avais pas compris que d était le diamètre du trou. Je suis d'accord avec le fait que le volume de la perle ne peut seulement dépendre de d. Toutefois, je dis, j'affirme et je l'ai même déjà prouvé deux fois de deux manières différentes dans ce fil que le volume de la perle est déterminé uniquement par la hauteur du cylindre que j'appelle d. On a alors . Et ceci est vrai, malgré le fait qu'il y a une infinité de formes de perles possible pour un d donné. Cela veut juste dire qu'elles ont toutes le même volume.

Dans ta formule, tu dois pouvoir simplifier, même si cela te semble difficile.
-----

[heinzoliger]

Désolé, dans ma solution, d est la demi hauteur du cylindre.
Sinon, pour voir que d^2=x(2r-x), on utilise le théorème de la hauteur dans le triangle rectangle dont l'hypothénuse est un diamètre perpendiculaire à l'axe du cylindre.

OK, j'ai compris maintenant.
Merci pour le calcul et bravo.

[GuYem]

Ok, je crois que je n'avais pas compris que d était le diamètre du trou. Je suis d'accord avec le fait que le volume de la perle ne peut seulement dépendre de d. Toutefois, je dis, j'affirme et je l'ai même déjà prouvé deux fois de deux manières différentes dans ce fil que le volume de la perle est déterminé uniquement par la hauteur du cylindre que j'appelle d. On a alors . Et ceci est vrai, malgré le fait qu'il y a une infinité de formes de perles possible pour un d donné. Cela veut juste dire qu'elles ont toutes le même volume.

Dans ta formule, tu dois pouvoir simplifier, même si cela te semble difficile.

J'avoue que je ne comprends pas là. Tu dis blanc, et une ligne aprés, tu dis noir.

[matthias]

J'avoue que je ne comprends pas là. Tu dis blanc, et une ligne aprés, tu dis noir.

C'est juste la définition de d qui a changée

[GuYem]

Bon, je vais fixer les notations et les objets pour voir si nous parlons bien de la même chose.

La sphère est donnée par .
Le cylindre a son axe sur l'axe des z. Il a un rayon r et une hauteur d.
Mon but est de trouver le volume V_p de la région qui est à l'intérieure de la sphère et à l'extérieure du cylindre.

Par Pythagore, on a
Le volume V_p se décompose en tranche horizontale qui sont des couronnes. J'espère que vous voyer ce que je veux dire.
A l'altitude z, la couronne a un rayon extérieur de et un rayon intérieur de r.

Ainsi, l'aire de la couronne à l'altitude z est .
Par (*) , on a donc que cette aire est


Il faut maintenant intégrer ceci entre z=-d/2 et z=d/2.
Cela donne






et voilà.
Si cela n'est pas convaincant, je vous prie de me dire où est l'erreur.

Entièrement d'accord avec tous ces calculs

Seulement voilà, si je reprend mon exemple :

Dans le plan je trace un cercle de rayon srqt(2)/2 avec un carré de coté 1 à l'intérieur (d=1 , r=1/2).
Je trace un autre cerle de rayon sqrt(5/16) avec un rectangle de coté 1 et 1/2 à l'intérieur (d=1,r=1/4).
(en fait je trace d'abord le carré et le triangle te ensuite le cercle qui va autour pour plus de facilité!)

Je calcule les aires de ce que devrait être la perle dans ces deux cas. je ne trouve pas la même chose!

QUID?

[Sylvestre]

Entièrement d'accord avec tous ces calculs

Seulement voilà, si je reprend mon exemple :

Dans le plan je trace un cercle de rayon srqt(2)/2 avec un carré de coté 1 à l'intérieur (d=1 , r=1/2).
Je trace un autre cerle de rayon sqrt(5/16) avec un rectangle de coté 1 et 1/2 à l'intérieur (d=1,r=1/4).
(en fait je trace d'abord le carré et le triangle te ensuite le cercle qui va autour pour plus de facilité!)

Je calcule les aires de ce que devrait être la perle dans ces deux cas. je ne trouve pas la même chose!

QUID?

Pour le premier exemple, je ne sais pas comment tu calcules le volume de la perle, mais on peut faire comme cela :

volume de la sphère : 4/3*pi*(sqrt(2)/2)^3=(sqrt(2)/3)*pi

Volume du cylindre : pi*(1/2)^2*1=pi/4

Volume des deux calottes : 2*(pi/3)*(sqrt(2)/2-1/2)^2*(3*sqrt(2)/2-(sqrt(2)/2-1/2))
=...=(pi/12)*(4*sqrt(2)-5)

Donc le volume de la perle est :
(sqrt(2)/3)*pi-pi/4-(pi/12)*(4sqrt(2)-5)
=pi/6

Ce qui vaut bien : (4/3)*pi*(1/2)^3

Pour l'autre exemple que tu cites, je fais la même chose et j'obtiens aussi le bon résultat, j'ai juste la flemme de le recopier, mais si tu le demandes, je le ferai.

En relisant ton message, je m'aperçois maintenant que tu parles de l'"aire" de la perle, or c'est un volume. Est-ce que la différence serait ici ?

A bientôt

[GuYem]

Je crois que la différence est ici en effet!
Je te répète mon raisonnement :
quand j'ai vu la question que posait heinzoliger je me suis dit qu'il manquait une donnée pour résoudre le problème.
Du coup j'ai cherché un contre exemple pour montrer qu'on peut avoir le même d et pas le même volume.
Seulement comme en dimension 3 les calculs sont fastidieux, je me suis dit que j'allais projeter tout ça dans R^2 et regarder seulement un cercle troué par un rectangle.
Et là donc je trouve le contre exemple cité plus haut, où je parle bien de cercle, de rectangle (carré) et d'aire.
Seulement voilà, ton calcul est juste, mon calcul est jsute (j'espère) et je ne trouve pas la même aire pour les deux bidules!
Pourtant dans ton calcul on n'utilise pas (...) la troisième dimension.
Il faudrait que je motive et refasse ton calcul dans le cas de la dimension 2 pour voir où ça cloche, si ça cloche! Et si ça ne cloche aps alros c'est que je me suis trompé dans le mien.
Tu suis?

[Sylvestre]

Tu suis?

Je crois. Tiens moi au courant.

A bientôt

[invite783900b1]

Je viens de trouver :
V(perle)=(Pi/6)*d^3

Si la sphere n'est pas percée, alors on tombe sur le cas particulier d=2R avec R rayon de la sphere. D'ou on retrouve le volume d'une sphere...

Il suffit d'ecrire : V(perle) = V(sphere) - V(cylindre) - 2*V(calotte)
Ensuite, il faut trouver des relations géométriques permettant d' :
- exprimer la hauteur de la calotte en fonction de R et d
- exprimer le rayon du cylindre en fonction de R et d

Ensuite, magie! Tous les R se barrent...