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Volume d'une perle



  1. #1
    heinzoliger

    Volume d'une perle

    Soit une sphère de rayon inconnu.
    On perce cette spère à l'aide d'un foret.
    On obtient donc une perle.
    Connaissant sa largeur d au niveau du trou, est-il possible de calculer son volume ?

    un schéma très moche pour illustrer celà :
    ici

    J'ai une solution mais elle part du postulat qu'une solution unique au problème existe.
    Je me demande s'il est possible de trouver une méthode plus rigoureuse...

    -----

    Dernière modification par heinzoliger ; 08/05/2005 à 17h26.

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  3. #2
    heinzoliger

    Re : Volume d'une perle

    Ma solution :
    Postulat : les données sont suffisantes pour résoudre ce problème.
    Donc, les longueurs indépendantes de ces données peuvent avoir n'importe quelles valeurs.
    En particulier, le rayon du cylindre central peut varier de 0 à l'infini sans influer le résultat final.
    Prennons 0 comme rayon de ce cylindre.
    On aboutit à une sphère classique de diamètre d.
    d'où son volume : (4 *pi /3 ) * (d/2)^3

  4. #3
    mytikjuve

    Re : Volume d'une perle

    ben deja pour pouvoir le resoudre en toute rigueur, il faudrait etre sur que c'est bien un diametre qui est l'axe du cylindre.
    Si on admets ca je pense que ca doit etre deja plus facile (mai je croit pas que je sache faire, il faudrai que j'essaie)
    "Et si on etait tous là pour s'améliorer, on tuerait l'ignorance pour cesser de s'ignorer" Trijas

  5. #4
    zoup1

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par heinzoliger
    Ma solution :
    Postulat : les données sont suffisantes pour résoudre ce problème.
    Donc, les longueurs indépendantes de ces données peuvent avoir n'importe quelles valeurs.
    En particulier, le rayon du cylindre central peut varier de 0 à l'infini sans influer le résultat final.
    Prennons 0 comme rayon de ce cylindre.
    On aboutit à une sphère classique de diamètre d.
    d'où son volume : (4 *pi /3 ) * (d/2)^3
    Il me semble que tu réponds toi même à la question. les données ne sont pas suffisantes pour répondre à la question. En particulier d dépend clairement du rayon du cylindre. Par exemple pour une sphère de rayon R, et un cylindre de rayon nul, d=2R. Alors que pour la même sphère de rayon R, et un cylindre de rayon R, d=0.
    Donc le résultat annoncé n'est pas correct et les données ne sont pas suffisantes.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  6. #5
    heinzoliger

    Re : Volume d'une perle

    Oui, j'ai oublié de préciser qu'on percait la sphère bien au centre.
    C'est vrai qu'on est jamais trop rigoureux...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    shokin

    Re : Volume d'une perle

    C'est clair que si on connaît pas le rayon de la sphère trouée.

    C'est pas vraiment un cylindre, le vide.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  10. #7
    heinzoliger

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par zoup1
    Il me semble que tu réponds toi même à la question. les données ne sont pas suffisantes pour répondre à la question. En particulier d dépend clairement du rayon du cylindre. Par exemple pour une sphère de rayon R, et un cylindre de rayon nul, d=2R. Alors que pour la même sphère de rayon R, et un cylindre de rayon R, d=0.
    Donc le résultat annoncé n'est pas correct et les données ne sont pas suffisantes.
    Bien sur, mais la question est de trouver le volume connaissant d.
    Pour un d donné, on poura avoir une infinité de rayon R.
    La question est finalement de savoir si quand on fait varier R en gardant d constant, le volume final de la perle varie ou non.

    Si oui : le problème n'est pas soluble par manque de données
    Si non : on trouve le volume comme indiqué plus haut
    Dernière modification par heinzoliger ; 08/05/2005 à 17h58.

  11. #8
    heinzoliger

    Re : Volume d'une perle

    Le R dont je parle ci dessus est le rayon du cylindre.

  12. #9
    zoup1

    Re : Volume d'une perle

    D'accord, j'ai bien compris. Alors il te reste à faire le calcul complet.
    Tu peux déterminer facilement le volume V de la perle en calculant le volume de la sphère, et en otant le volume du cylindre et le volume de la calotte sphérique qui est au dessus. Pour la calotte sphérique, tu trouveras cela ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Volume_de_solides_usuels
    Je l'ai pas fait, mais en tout cas cela marche pour les petits diamètres (en faisant un DL à l'ordre 1 en R/d). Le calcul exacte te donneras la solution...
    Tiens nous au courant.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  13. #10
    Sylvestre

    Re : Volume d'une perle

    Salut,

    J'ai fait les calculs. J'ai trouvé le résultat que le volume ne dépend que de d vraiment très surprenant.

    Soit r le rayon de la sphère, x la différence entre r et le rayon du cylindre et d la hauteur du cylindre (l'endroit le plus élevé de la sphère).
    On a .

    Ensuite, le volume de la perle est

    ce qui donne après calcul :



    Puisque , on a


    C'est cool, non ?

  14. #11
    Sylvestre

    Re : Volume d'une perle

    Désolé, j'avais oublié d'expliquer d'où venait l'intégrale. Le volume de la sphère, c'est l'intégrale de toutes les couronnes à hauteur z pour z allant de -d à d. Cela s'écrit


    le reste de mes calculs sont, sauf erreur, corrects.

  15. #12
    duduc

    Re : Volume d'une perle

    Faux..........

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  17. #13
    zoup1

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par duduc
    Faux..........
    Cela m'a l'air un peu court comme réponse.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  18. #14
    Topov

    Re : Volume d'une perle

    Bon, à défaut de dire que c'est faux, je vais essayer des formules de 2de

    S : indice sphère (rayon R)
    P : indice perle
    C : calotte sphérique

    On a :


    où h désigne la hauteur de la calotte sphérique

    si j'ai bien compris les notations de ton schéma et si la coupe est axiale
    Gasp, voir la fin

    En écrivant , on obtient :


    Sans contrainte géométrique supplémentaire (que je ne vois pas et qui, sans prétention, ne devrait pas exister), bon courage pour obtenir V_P=f(d).

    Bonne soirée

    [EDIT] : Holé ! h=(2R-d)/2 ..... [/EDIT]
    Dernière modification par Topov ; 08/05/2005 à 20h47.

  19. #15
    heinzoliger

    Re : Volume d'une perle

    Topov, il me semble que tu as un peu tout mélangé dans les mesures.
    Tu n'as pas introduit le rayon du cylindre; appelons le r ( != R).
    D'où en fait :
    Et au volume de la sphère il faut également retirer le volume du cylindre :

    De tout manière, je ne pense pas que soit la bonne manière de le résoudre.

    La méthode de Sylvestre me plait bien.
    Mais je n'ai pas vraiment compris comment au début il pose
    Par contre il me semble aussi qu'il y a une erreur quelque part. Si le résultat ne dépend que de d et pas du rayon du cylindre central alors le cas où le cylindre central a un rayon nul (cad perle = sphère de diamètre d pleine) conduit à :
    Dernière modification par heinzoliger ; 08/05/2005 à 21h27.

  20. #16
    heinzoliger

    Re : Volume d'une perle

    OK, première erreur trouvée :
    Si d est la hauteur du cylindre, alors il faut intégrer de 0 à d (ou de -d/2 à d/2) et pas de -d à d...

  21. #17
    Topov

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par heinzoliger
    Topov, il me semble que tu as un peu tout mélangé dans les mesures.
    Pas du tout ! J'ai juste écrit une bêtise mais merci pour ton tact

    Ceci-dit, je vois pas du tout ce que va vous apporter une méthode d'intégration. Mis à part que c'est joli tout plein, tu dois trouver le même résultat en sommant des volumes élémentaires.

    Bon courage tout de même

  22. #18
    shokin

    Re : Volume d'une perle

    Et que faire des deux volumes à deux faces (l'une plate, l'autre arondie) ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  24. #19
    heinzoliger

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par Topov
    Ceci-dit, je vois pas du tout ce que va vous apporter une méthode d'intégration. Mis à part que c'est joli tout plein, tu dois trouver le même résultat en sommant des volumes élémentaires.
    Bah, oui les intégrales ça fait tout de suite plus chic.
    Et le problème avec les volumes élémentaires c'est qu'une fois posé les formules des 3 volumes à soustraires entre eux avec les variables qui te plaisent bien, il faut bien trouver comment relier les variables entre elles.
    Intuitivement, on sent bien que les variables d, R et r sont liées.
    Si on en fixe une (au choix) sur les 3 on aura alors la deuxième qui variera en fonction de la troisième. Mais bonne chance pour réussir à traduire ça mathématiquement...

    Citation Envoyé par Topov
    Bon courage tout de même
    Pas besoin. Je n'ai aucune contrainte qui me pousse à le résoudre ou non. c'est juste que j'aimerais bien avoir une confirmation mathématique de la solution que j'ai écrite dans le 2ème post.

  25. #20
    Sylvestre

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par heinzoliger
    OK, première erreur trouvée :
    Si d est la hauteur du cylindre, alors il faut intégrer de 0 à d (ou de -d/2 à d/2) et pas de -d à d...
    Désolé, dans ma solution, d est la demi hauteur du cylindre.

    Sinon, pour voir que d^2=x(2r-x), on utilise le théorème de la hauteur dans le triangle rectangle dont l'hypothénuse est un diamètre perpendiculaire à l'axe du cylindre.

    Sinon, j'aimerais bien que vous me disiez où cela cloche dans ma solution.

  26. #21
    Topov

    Re : Volume d'une perle

    Bonsoir,
    En relisant, et comme il l'a été dit au 4ème post, je vois mal comment ta formule pourrait être exacte.
    Pour un rayon de cylindre r égal à celui de la sphère, ça bug. à moins que tu ne trouves une relation entre d et r telle que d(r)=0.
    Je me dis toujours que sans relations géométriques supplémentaires, vous pouvez chercher longtemps.
    J'airais plutôt tendance à penser que montrer le fait qu'il n'existe pas de relation entre d et V_P serait plus amusant.
    Bonne soirée

  27. #22
    Sylvestre

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par Topov
    Bonsoir,
    En relisant, et comme il l'a été dit au 4ème post, je vois mal comment ta formule pourrait être exacte.
    Pour un rayon de cylindre r égal à celui de la sphère, ça bug. à moins que tu ne trouves une relation entre d et r telle que d(r)=0.
    Mais non, cela ne bug pas. Si d(r)=0, alors cela veut dire que r est le même que le rayon de la sphère, alors il ne reste plus rien de la sphère, et donc le volume V est bien nul. C'est juste. Je ne comprends pas ce que tu trouves qui ne va pas, ou bien c'est moi qui n'ai pas compris qqc.
    A part cela, si tu n'est pas d'accord avec ma solution, pourrais-tu me dire ce qui ne va pas dans mon calcul ?

  28. #23
    Topov

    Re : Volume d'une perle

    Certes, trouve moi donc une relation telle que d(r=R)=0. Et, accessoirement, r=0 ==>

  29. #24
    Sylvestre

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par Topov
    Certes, trouve moi donc une relation telle que d(r=R)=0. Et, accessoirement, r=0 ==>
    Je crois que je ne comprends pas ce que tu veux dire par "relation".

    Si r=R, alors, évidemment d=0 puisque le haut et le bas du cylindre sont confondu avec l'équateur de la sphère.

    De plus, si r le rayon du cylindre vaut 0, alors il reste la sphère complète et donc le volume restant est bien où R est le rayon de la sphère.
    Je ne comprends vraiment pas bien ce que tu veux dire.

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  31. #25
    Topov

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par Sylvestre
    Si r=R, alors, évidemment d=0 puisque le haut et le bas du cylindre sont confondu avec l'équateur de la sphère
    J'entends par là qu'une fonction d:-->d(r) continue sur [0;R] et telle que

    et ayant un sens physique serait la bienvenue.
    dans le cas où vous affirmez que V_P=k * d^3, k réel non nul.
    Comprendre d(R) = limite de d quand r tend vers R
    J'ai vraiment du mal à avoir vos intuitions sur ce problème, j'y mets peut être de la mauvaise volonté aussi.

  32. #26
    GuYem

    Re : Volume d'une perle

    a mon sens il manque une donnée, j'essaye d'argumenter rapidement :
    Projetons le problème dans R^2, c'est plus simple à voir.
    Je crois voir deux cercles percés avec un d=1 et dont le 'aire restante serait différente, à cause du rayon qui est différent.

    Le premier est un cercle de rayon , si bien que le trou est carré. Du coup l'aire (exacte) de ce qui reste est

    Le deuxième est un cercle de rayon , si bien que le trou est rectangulaire de coté 1 et 1/2. Ainsi l'aire qui reste est (approx!)

    Aprés reflexion, je me dit qu'en enlevant les deux calottes de la deuxième aire, on pourrait bien ytomber sur la première! A voir quoi. Si on tombe pile dessus, on a des chances de penser qu'il y a effectivement une relation à trouver entre d et R.
    Ca m'étonnerait quand même!
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  33. #27
    Sylvestre

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par Topov
    J'entends par là qu'une fonction d:-->d(r) continue sur [0;R] et telle que

    et ayant un sens physique serait la bienvenue.
    dans le cas où vous affirmez que V_P=k * d^3, k réel non nul.
    Comprendre d(R) = limite de d quand r tend vers R
    Je pense que j'ai compris ce que vous voulez dire et je suis d'accord maintenant. C'est vrai qu'il n'y a pas de fonction d(r), car d ne peut pas dépendre que de r. Mais ce n'est pas cela qui nous intéresse. L'important c'est que le volume de la perle V_p ne dépende que de d.

    Bon, je vais fixer les notations et les objets pour voir si nous parlons bien de la même chose.

    La sphère est donnée par .
    Le cylindre a son axe sur l'axe des z. Il a un rayon r et une hauteur d.
    Mon but est de trouver le volume V_p de la région qui est à l'intérieure de la sphère et à l'extérieure du cylindre.

    Par Pythagore, on a
    Le volume V_p se décompose en tranche horizontale qui sont des couronnes. J'espère que vous voyer ce que je veux dire.
    A l'altitude z, la couronne a un rayon extérieur de et un rayon intérieur de r.

    Ainsi, l'aire de la couronne à l'altitude z est .
    Par (*) , on a donc que cette aire est


    Il faut maintenant intégrer ceci entre z=-d/2 et z=d/2.
    Cela donne






    et voilà.
    Si cela n'est pas convaincant, je vous prie de me dire où est l'erreur.

  34. #28
    duduc

    Re : Volume d'une perle

    Bonjour,
    d'une part il n'est pas poszsible que le volume de la perle ne dépende que de son rayon R, ou bien que du diamètre du trou d, car ces deux paramètres dont dépend le volume sont indépendants l'un de l'autre.
    C'est aussi la raison pour laquelle on ne peut avoir une fonction R dépendant uniquement de d ou d dépendant uniquement de R.

    Je vous propose un mode de calcul:

    soit Vp volume de la perle
    soit Vs volume de la sphère
    soit Vcy volume du perçage à l'exception des 2 calottes enlevées.(= volume du cylindre).
    soit Vca volume d'une calotte sphérique enlevée par le perçage à une des 2 extrèmités du cylindre.


    On peut écrire: Vp=Vs-Vcy-2Vca

    si on applique le théorème de Pythagore au 1/2 cylindre percé vu en coupe, on a:
    H²/4+d²/4=R²

    on peut écrire que: H la hauteur du cylindre percè est égale à:
    H=rac(4R²-d²)
    et h la hauteur d'une calotte sphérique enlevée par le perçage est égale à:
    h=R-H/2= R-1/2.rac(4R²-d²)


    soit: Vs=4/3.Pi.R^3
    Vcy=Pi.d²/4.rac(4R²-d²)
    Vca=1/3.Pi.[R-1/2.rac(4R²-d²)]².[3d/2-(R-1/2.rac(4R²-d²)]


    l'expression complète Vp=Vs-Vcy-2Vca doit pouvoir se simplifier, et je ne crois pas que passer par les intégrales apporte quoi que ce soit, à part peut-être de retrouver la même expression sous une forme plus simple

  35. #29
    GuYem

    Re : Volume d'une perle

    Citation Envoyé par heinzoliger
    Soit une sphère de rayon inconnu.
    On perce cette spère à l'aide d'un foret.
    On obtient donc une perle.
    Connaissant sa largeur d au niveau du trou, est-il possible de calculer son volume ?

    un schéma très moche pour illustrer celà :
    ici

    J'ai une solution mais elle part du postulat qu'une solution unique au problème existe.
    Je me demande s'il est possible de trouver une méthode plus rigoureuse...
    Non. Duduc, l'a dit, j'ai donné un contre exemple.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  36. #30
    duduc

    Re : Volume d'une perle

    mea culpa: je viens de regarder le schéma de départ et je constate que la lettre d employée est ce que j'ai noté H: la hauteur du perçage.
    Pour ma part, j'ai noté d le diamètre du perçage.

    Cependant, celà ne change rien au fait que l'on ne peut exprimer le volume de la perle en fonction seulement de d la hauteur puisque à un même d correspondent une infinité de perles différentes (Rayons différents correspondant chacun à un diamètre de perçage), ces perles ayant toutes de volumes différents....car dans l'expression que j'ai trouvé pour le volume, avec la notation H pour la hauteur du trou, on ne peut à priori simplifier pour éliminer à la fois le paramètre R et le paramètre d diamètre du trou.

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