Soit une sphère de rayon inconnu.
On perce cette spère à l'aide d'un foret.
On obtient donc une perle.
Connaissant sa largeur d au niveau du trou, est-il possible de calculer son volume ?
un schéma très moche pour illustrer celà :
ici
J'ai une solution mais elle part du postulat qu'une solution unique au problème existe.
Je me demande s'il est possible de trouver une méthode plus rigoureuse...
Dernière modification par heinzoliger ; 08/05/2005 à 17h26.
Ma solution :
Postulat : les données sont suffisantes pour résoudre ce problème.
Donc, les longueurs indépendantes de ces données peuvent avoir n'importe quelles valeurs.
En particulier, le rayon du cylindre central peut varier de 0 à l'infini sans influer le résultat final.
Prennons 0 comme rayon de ce cylindre.
On aboutit à une sphère classique de diamètre d.
d'où son volume : (4 *pi /3 ) * (d/2)^3
ben deja pour pouvoir le resoudre en toute rigueur, il faudrait etre sur que c'est bien un diametre qui est l'axe du cylindre.
Si on admets ca je pense que ca doit etre deja plus facile (mai je croit pas que je sache faire, il faudrai que j'essaie)
"Et si on etait tous là pour s'améliorer, on tuerait l'ignorance pour cesser de s'ignorer" Trijas
Il me semble que tu réponds toi même à la question. les données ne sont pas suffisantes pour répondre à la question. En particulier d dépend clairement du rayon du cylindre. Par exemple pour une sphère de rayon R, et un cylindre de rayon nul, d=2R. Alors que pour la même sphère de rayon R, et un cylindre de rayon R, d=0.Envoyé par heinzoliger
Donc le résultat annoncé n'est pas correct et les données ne sont pas suffisantes.
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
Oui, j'ai oublié de préciser qu'on percait la sphère bien au centre.
C'est vrai qu'on est jamais trop rigoureux...
C'est clair que si on connaît pas le rayon de la sphère trouée.
C'est pas vraiment un cylindre, le vide.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Bien sur, mais la question est de trouver le volume connaissant d.
Pour un d donné, on poura avoir une infinité de rayon R.
La question est finalement de savoir si quand on fait varier R en gardant d constant, le volume final de la perle varie ou non.
Si oui : le problème n'est pas soluble par manque de données
Si non : on trouve le volume comme indiqué plus haut
Dernière modification par heinzoliger ; 08/05/2005 à 17h58.
Le R dont je parle ci dessus est le rayon du cylindre.
D'accord, j'ai bien compris. Alors il te reste à faire le calcul complet.
Tu peux déterminer facilement le volume V de la perle en calculant le volume de la sphère, et en otant le volume du cylindre et le volume de la calotte sphérique qui est au dessus. Pour la calotte sphérique, tu trouveras cela ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Volume_de_solides_usuels
Je l'ai pas fait, mais en tout cas cela marche pour les petits diamètres (en faisant un DL à l'ordre 1 en R/d). Le calcul exacte te donneras la solution...
Tiens nous au courant.
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
Salut,
J'ai fait les calculs. J'ai trouvé le résultat que le volume ne dépend que de d vraiment très surprenant.
Soit r le rayon de la sphère, x la différence entre r et le rayon du cylindre et d la hauteur du cylindre (l'endroit le plus élevé de la sphère).
On a.
Ensuite, le volume de la perle est
ce qui donne après calcul :
Puisque
C'est cool, non ?
Désolé, j'avais oublié d'expliquer d'où venait l'intégrale. Le volume de la sphère, c'est l'intégrale de toutes les couronnes à hauteur z pour z allant de -d à d. Cela s'écrit
le reste de mes calculs sont, sauf erreur, corrects.
Faux..........
Cela m'a l'air un peu court comme réponse.
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
Bon, à défaut de dire que c'est faux, je vais essayer des formules de 2de
S : indice sphère (rayon R)
P : indice perle
C : calotte sphérique
On a :
où h désigne la hauteur de la calotte sphérique
si j'ai bien compris les notations de ton schéma et si la coupe est axiale
En écrivant
Sans contrainte géométrique supplémentaire (que je ne vois pas et qui, sans prétention, ne devrait pas exister), bon courage pour obtenir V_P=f(d).
Bonne soirée
[EDIT] : Holé ! h=(2R-d)/2 ..... [/EDIT]
Topov, il me semble que tu as un peu tout mélangé dans les mesures.
Tu n'as pas introduit le rayon du cylindre; appelons le r ( != R).
D'où en fait :
Et au volume de la sphère il faut également retirer le volume du cylindre :
De tout manière, je ne pense pas que soit la bonne manière de le résoudre.
La méthode de Sylvestre me plait bien.
Mais je n'ai pas vraiment compris comment au début il pose
Par contre il me semble aussi qu'il y a une erreur quelque part. Si le résultat ne dépend que de d et pas du rayon du cylindre central alors le cas où le cylindre central a un rayon nul (cad perle = sphère de diamètre d pleine) conduit à :
Dernière modification par heinzoliger ; 08/05/2005 à 21h27.
OK, première erreur trouvée :
Si d est la hauteur du cylindre, alors il faut intégrer de 0 à d (ou de -d/2 à d/2) et pas de -d à d...
Pas du tout ! J'ai juste écrit une bêtise mais merci pour ton tact
Ceci-dit, je vois pas du tout ce que va vous apporter une méthode d'intégration. Mis à part que c'est joli tout plein, tu dois trouver le même résultat en sommant des volumes élémentaires.
Bon courage tout de même
Et que faire des deux volumes à deux faces (l'une plate, l'autre arondie) ?
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Bah, oui les intégrales ça fait tout de suite plus chic.
Et le problème avec les volumes élémentaires c'est qu'une fois posé les formules des 3 volumes à soustraires entre eux avec les variables qui te plaisent bien, il faut bien trouver comment relier les variables entre elles.
Intuitivement, on sent bien que les variables d, R et r sont liées.
Si on en fixe une (au choix) sur les 3 on aura alors la deuxième qui variera en fonction de la troisième. Mais bonne chance pour réussir à traduire ça mathématiquement...
Pas besoin. Je n'ai aucune contrainte qui me pousse à le résoudre ou non. c'est juste que j'aimerais bien avoir une confirmation mathématique de la solution que j'ai écrite dans le 2ème post.
Désolé, dans ma solution, d est la demi hauteur du cylindre.
Sinon, pour voir que d^2=x(2r-x), on utilise le théorème de la hauteur dans le triangle rectangle dont l'hypothénuse est un diamètre perpendiculaire à l'axe du cylindre.
Sinon, j'aimerais bien que vous me disiez où cela cloche dans ma solution.
Bonsoir,
En relisant, et comme il l'a été dit au 4ème post, je vois mal comment ta formule pourrait être exacte.
Pour un rayon de cylindre r égal à celui de la sphère, ça bug. à moins que tu ne trouves une relation entre d et r telle que d(r)=0.
Je me dis toujours que sans relations géométriques supplémentaires, vous pouvez chercher longtemps.
J'airais plutôt tendance à penser que montrer le fait qu'il n'existe pas de relation entre d et V_P serait plus amusant.
Bonne soirée
Mais non, cela ne bug pas. Si d(r)=0, alors cela veut dire que r est le même que le rayon de la sphère, alors il ne reste plus rien de la sphère, et donc le volume V est bien nul. C'est juste. Je ne comprends pas ce que tu trouves qui ne va pas, ou bien c'est moi qui n'ai pas compris qqc.
A part cela, si tu n'est pas d'accord avec ma solution, pourrais-tu me dire ce qui ne va pas dans mon calcul ?
Certes, trouve moi donc une relation telle que d(r=R)=0. Et, accessoirement, r=0 ==>
Je crois que je ne comprends pas ce que tu veux dire par "relation".Certes, trouve moi donc une relation telle que d(r=R)=0. Et, accessoirement, r=0 ==>
Si r=R, alors, évidemment d=0 puisque le haut et le bas du cylindre sont confondu avec l'équateur de la sphère.
De plus, si r le rayon du cylindre vaut 0, alors il reste la sphère complète et donc le volume restant est bien
Je ne comprends vraiment pas bien ce que tu veux dire.
J'entends par là qu'une fonction d:-->d(r) continue sur [0;R] et telle que
et ayant un sens physique serait la bienvenue.
dans le cas où vous affirmez que V_P=k * d^3, k réel non nul.
Comprendre d(R) = limite de d quand r tend vers R
J'ai vraiment du mal à avoir vos intuitions sur ce problème, j'y mets peut être de la mauvaise volonté aussi.
a mon sens il manque une donnée, j'essaye d'argumenter rapidement :
Projetons le problème dans R^2, c'est plus simple à voir.
Je crois voir deux cercles percés avec un d=1 et dont le 'aire restante serait différente, à cause du rayon qui est différent.
Le premier est un cercle de rayon
Le deuxième est un cercle de rayon
Aprés reflexion, je me dit qu'en enlevant les deux calottes de la deuxième aire, on pourrait bien ytomber sur la première! A voir quoi. Si on tombe pile dessus, on a des chances de penser qu'il y a effectivement une relation à trouver entre d et R.
Ca m'étonnerait quand même!
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
Je pense que j'ai compris ce que vous voulez dire et je suis d'accord maintenant. C'est vrai qu'il n'y a pas de fonction d(r), car d ne peut pas dépendre que de r. Mais ce n'est pas cela qui nous intéresse. L'important c'est que le volume de la perle V_p ne dépende que de d.J'entends par là qu'une fonction d:-->d(r) continue sur [0;R] et telle que
et ayant un sens physique serait la bienvenue.
dans le cas où vous affirmez que V_P=k * d^3, k réel non nul.
Comprendre d(R) = limite de d quand r tend vers R
Bon, je vais fixer les notations et les objets pour voir si nous parlons bien de la même chose.
La sphère est donnée par
Le cylindre a son axe sur l'axe des z. Il a un rayon r et une hauteur d.
Mon but est de trouver le volume V_p de la région qui est à l'intérieure de la sphère et à l'extérieure du cylindre.
Par Pythagore, on a
Le volume V_p se décompose en tranche horizontale qui sont des couronnes. J'espère que vous voyer ce que je veux dire.
A l'altitude z, la couronne a un rayon extérieur de
Ainsi, l'aire de la couronne à l'altitude z est
Par (*) , on a donc que cette aire est
Il faut maintenant intégrer ceci entre z=-d/2 et z=d/2.
Cela donne
et voilà.
Si cela n'est pas convaincant, je vous prie de me dire où est l'erreur.
Bonjour,
d'une part il n'est pas poszsible que le volume de la perle ne dépende que de son rayon R, ou bien que du diamètre du trou d, car ces deux paramètres dont dépend le volume sont indépendants l'un de l'autre.
C'est aussi la raison pour laquelle on ne peut avoir une fonction R dépendant uniquement de d ou d dépendant uniquement de R.
Je vous propose un mode de calcul:
soit Vp volume de la perle
soit Vs volume de la sphère
soit Vcy volume du perçage à l'exception des 2 calottes enlevées.(= volume du cylindre).
soit Vca volume d'une calotte sphérique enlevée par le perçage à une des 2 extrèmités du cylindre.
On peut écrire: Vp=Vs-Vcy-2Vca
si on applique le théorème de Pythagore au 1/2 cylindre percé vu en coupe, on a:
H²/4+d²/4=R²
on peut écrire que: H la hauteur du cylindre percè est égale à:
H=rac(4R²-d²)
et h la hauteur d'une calotte sphérique enlevée par le perçage est égale à:
h=R-H/2= R-1/2.rac(4R²-d²)
soit: Vs=4/3.Pi.R^3
Vcy=Pi.d²/4.rac(4R²-d²)
Vca=1/3.Pi.[R-1/2.rac(4R²-d²)]².[3d/2-(R-1/2.rac(4R²-d²)]
l'expression complète Vp=Vs-Vcy-2Vca doit pouvoir se simplifier, et je ne crois pas que passer par les intégrales apporte quoi que ce soit, à part peut-être de retrouver la même expression sous une forme plus simple
Non. Duduc, l'a dit, j'ai donné un contre exemple.
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
mea culpa: je viens de regarder le schéma de départ et je constate que la lettre d employée est ce que j'ai noté H: la hauteur du perçage.
Pour ma part, j'ai noté d le diamètre du perçage.
Cependant, celà ne change rien au fait que l'on ne peut exprimer le volume de la perle en fonction seulement de d la hauteur puisque à un même d correspondent une infinité de perles différentes (Rayons différents correspondant chacun à un diamètre de perçage), ces perles ayant toutes de volumes différents....car dans l'expression que j'ai trouvé pour le volume, avec la notation H pour la hauteur du trou, on ne peut à priori simplifier pour éliminer à la fois le paramètre R et le paramètre d diamètre du trou.
